الفوارق - ما هي؟ كيفية العثور على التفاضلية للدالة؟ وظيفة التفاضلية. التعريف والخصائص المعنى الهندسي للتفاضل
إذا كانت الوظيفة
قابلة للتمييز عند هذه النقطة 
,
ثم يمكن تمثيل الزيادة كمجموع فترتين
. هذه المصطلحات هي وظائف متناهية الصغر في 
.الفصل الأول خطي بالنسبة ل 
، والثاني هو متناهية الصغر من مرتبة أعلى من 
.حقًا،
.
وهكذا فإن الفصل الدراسي الثاني في 
يميل إلى الصفر بشكل أسرع عند العثور على زيادة الدالة 
يلعب الفصل الأول الدور الرئيسي 
أو ( منذ 
)
.
تعريف
.
الجزء الرئيسي من زيادة الوظيفة
عند هذه النقطة 
، خطية فيما يتعلق
,يسمى التفاضلية
المهام
في هذه المرحلة ويتم تعيينهديأوdf(س)
. (2)
وهكذا يمكننا أن نستنتج: تفاضل المتغير المستقل يتزامن مع زيادته، أي 
.
العلاقة (2) تأخذ الآن الشكل
(3)
تعليق . غالبًا ما تتم كتابة الصيغة (3) للإيجاز في النموذج
(4)
المعنى الهندسي للتفاضلية
النظر في الرسم البياني للوظيفة القابلة للتفاضل 
. نقاط 
وتنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة. عند هذه النقطة مالمماس المرسوم لإلى الرسم البياني للدالة التي تكون زاويتها مع الاتجاه الموجب للمحور 
للدلالة به 
. دعونا نرسم خطوطًا مستقيمة مينيسوتا
موازية للمحور ثور
و 
موازية للمحور أوي. زيادة الدالة تساوي طول القطعة 
. من المثلث الأيمن 
، بحيث 
، نحن نحصل
الاعتبارات المذكورة أعلاه تسمح لنا أن نستنتج:
وظيفة التفاضلية
عند هذه النقطة 
يتم تمثيله بزيادة إحداثيات المماس للرسم البياني لهذه الوظيفة عند النقطة المقابلة لها 
.
العلاقة بين التفاضلية والمشتقة
النظر في الصيغة (4)
.
دعونا نقسم طرفي هذه المساواة على dx، ثم
.
هكذا، مشتقة الدالة تساوي نسبة تفاضلها إلى تفاضل المتغير المستقل.
في كثير من الأحيان هذا الموقف 
يتم التعامل معها ببساطة كرمز يشير إلى مشتق دالة فيبالحجة X.
الرموز المريحة للمشتق هي أيضًا:
,
وما إلى ذلك وهلم جرا.
يتم استخدام الإدخالات أيضًا
,
,
مريحة بشكل خاص عند أخذ مشتق تعبير معقد.
2. تفاضل المبلغ والمنتج والحاصل.
نظرًا لأنه يتم الحصول على التفاضل من المشتق عن طريق ضربه في تفاضل المتغير المستقل، فمن خلال معرفة مشتقات الوظائف الأولية الأساسية، وكذلك قواعد العثور على المشتقات، يمكنك التوصل إلى قواعد مماثلة للعثور على التفاضلات.
1 0 . فرق الثابت هو صفر
.
2 0 . تفاضل المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال القابلة للتفاضل يساوي المجموع الجبري لتفاضلات هذه الدوال
3 0 . تفاضل حاصل ضرب دالتين قابلتين للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب الدالة الأولى في تفاضل الثانية والدالة الثانية في تفاضل الأولى
.
عاقبة. يمكن إخراج المضاعف الثابت من العلامة التفاضلية
.
مثال. أوجد تفاضل الدالة.
الحل: لنكتب هذه الوظيفة في النموذج
,
ثم نحصل
.
4. وظائف محددة حدوديا، وتمايزها.
تعريف
.
وظيفة 
ويقال أن تعطى حدوديا إذا كان كلا المتغيرين X و
في
يتم تعريف كل منها بشكل منفصل على أنها وظائف ذات قيمة واحدة لنفس المتغير المساعد - المعلمةر:
أينريختلف داخل 
.
تعليق
. تستخدم المواصفات البارامترية للوظائف على نطاق واسع في الميكانيكا النظرية، حيث تكون المعلمة ر
يدل على الوقت، والمعادلات 
تمثل قوانين التغيير في إسقاطات نقطة متحركة 
على المحور 
و 
.
تعليق . دعونا نقدم المعادلات البارامترية للدائرة والقطع الناقص.
أ) دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف القطر ص لديه معادلات حدودية:
أين 
.
ب) دعونا نكتب المعادلات البارامترية للقطع الناقص:
أين 
.
باستبعاد المعلمة ر من المعادلات البارامترية للخطوط قيد النظر، يمكن للمرء أن يصل إلى معادلاتها الأساسية.
نظرية
. إذا كانت الوظيفة ذ من الحجة
يتم إعطاء x بشكل حدودي بواسطة المعادلات 
، أين 
و 
قابلة للتمييز فيما يتعلقروظائف و 
، الذي - التي
.
مثال. أوجد مشتقة الدالة فيمن X، نظرا للمعادلات البارامترية.
حل. 
.
دعونا نعيد تسمية زيادة المتغير المستقل x على أنها التفاضلية لهذا المتغير، ونشير إليها بالرمز dx، أي بالنسبة للمتغير المستقل، حسب التعريف، سنفترض
لنتصل التفاضليدالة y=f(x) التعبير
من خلال الإشارة إليه بالرمز ديأو مدافع (خ)بحكم التعريف سيكون لدينا
تسمى الصيغة الأخيرة "شكل" التفاضل "الأول". وبالنظر إلى المستقبل، سنقدم ونشرح الخاصية "ذات الأهمية الأرشيفية" للتفاضل - ما يسمى بالثبات (الثبات) في شكله. لذا
الشكل التفاضليلا يعتمد (ثابت)على ما إذا كان Xالمتغير المستقل أو هذا X- المتغير التابع - الدالة .
في الواقع، اسمحوا 
، أي أن y هي دالة معقدة لـ t. حسب تعريف التفاضل، لدينا 
. لكن
,
أي أنه له نفس الشكل مرة أخرى.
غير أن "جوهر" (وليس الشكل) التفاضل في هاتين الحالتين مختلف. ولتوضيح ذلك دعونا أولا نوضح المعنى الهندسي للتفاضل وبعض خواصه الأخرى. من الشكل أدناه يمكن ملاحظة أن التفاضل جزء من الزيادة ∆y. يمكن إثبات أن dy هو الجزء الرئيسي والخطي من ∆у. رئيسي بمعنى أن الفرق ∆у – dy هو كمية متناهية الصغر من الدرجة الأعلى، وأن ∆x هو من مرتبة الصغر، وخطي بمعنى خطية اعتماده على ∆x.
يمكننا أيضًا أن نقول إن الفرق هو (انظر الشكل) الزيادة المقابلة لإحداثيات المماس. الآن أصبح الفرق في جوهر ومعنى الشكل التفاضلي مع حجة مستقلة وتابعة قابلاً للتفسير أيضًا. في الحالة الأولى، dx هو الزيادة الكاملة لـ ∆x. بمساعدة التعريف، من السهل إثبات ذلك
الخصائص الحسابية التفاضلية
دعونا الآن نحدد
المشتقات والتفاضلات ذات الرتب العليا.
أ-بريوري 
- المشتق الثاني؛ 
- المشتق الثالث وبشكل عام 
- المشتقة النونية للدالة 
.
بالضبط نفس الشيء من حيث التعريف
- التفاضل الثالث وبشكل عام - التفاضل التاسع للدالة 
. يستطيع
إظهار ما
تطبيقات المشتقات لدراسة الوظائف.
في
هندسيًا (الشكل 6) تنص النظرية على ذلك في الفترة المقابلة 
هناك نقطة 
بحيث يكون ميل المماس للرسم البياني عند هذه النقطة 
يساوي المعامل الزاوي للقاطع الذي يمر عبر النقاط 
و 
.
بمعنى آخر، بالنسبة إلى "قطعة" من الرسم البياني للدالة الموصوفة في النظرية، هناك مماس موازٍ للقاطع الذي يمر عبر النقاط الحدودية لهذه القطعة. ومن هذه النظرية على وجه الخصوص تتبع قاعدة رائعة للكشف عن حالات عدم اليقين من النوع 
-ما يسمى بقاعدة ماركيز لوبيتال: إذا كانت الوظائفو(س
) وز (خ)
قابلة للتمييز عند النقطة أ وبعض المناطق المجاورة لهاو (أ)
=
ز (أ)
= 0، أو"(أ)
وز"(أ)
لا تساوي الصفر في نفس الوقت 
.
ملاحظات: يمكن إثبات أن 1. تنطبق القاعدة أيضًا على الكشف عن نوع عدم اليقين 
; 2. إذا و"(أ)
= ز"(أ)= 0 أو ∞، و و""(أ)و ز""(أ)موجودة ولا تساوي الصفر في نفس الوقت إذن 
.
مع 
باستخدام نظرية لانغرانج، يمكن إثبات الاختبار التالي لرتابة الوظيفة:
لو 
على الفترة (أ، ب) ثمو(س
) يزيد (ينقص) خلال هذه الفترة.
تجدر الإشارة إلى أن ثبات المشتق هو أيضًا علامة ضرورية على الرتابة. ومن هذه العلامات يمكننا أن نستنتج:
أ) علامة ضرورية على وجود الحد الأقصى
لكي تكون النقطة × 0 هي النقطة القصوى (الدنيا)، من الضروري أن و"(x 0 ) كان إما صفراً أو لم يكن موجوداً. هذه النقاط × 0 عندها و"(x 0 ) = 0 أو غير موجودة تسمى حرجة.
ب ) هي علامة كافية على وجود الحد الأقصى:
إذا (انظر الشكل) عند المرور عبر النقطة الحرجة × 0 المشتق و"(x) من علامة تغييرات الدالة، فإن هذه النقطة هي النقطة القصوى. إذا، في نفس الوقت، و"(x) يغير العلامة من "+" إلى "-"، ثم x 0 هي النقطة القصوى، وإذا كان من "-" إلى "+"، فإن x 0 هي النقطة الدنيا.
وأخيرًا، نقدم معيارًا آخر باستخدام مفهوم المشتقة. هذا
د 
علامة التحدب المتبقية (التقعر) في الرسم البياني للدالة "فوق" الفاصل الزمني (أ، ب).
إذا كان على الفترة (أ، ب) المشتقة و""(x)>0 ثم الرسم البياني و(س) مقعرة، وإذا و""(x)< 0, то график является выпуклым «над» этим интервалом.
قد يبدو مخطط دراسة الوظيفة الكاملة الآن كما يلي:
مخطط دراسة وظيفة كاملة
مجال تحديد الفاصل الزمني للإشارة الثابتة.
الخطوط المقاربة.
التكافؤ، الدورية.
فترات الرتابة، النهايات.
التحدب، التقعر.
رسم بياني للوظيفة (مع نقاط التحكم الموجودة أعلاه).
2. مثال: استكشاف دالة ورسمها بيانيًا
.
ب) 
,
ج) ص = س + 8 - الخط المقارب المائل،
وبمساواة المشتقة بالصفر وإيجاد علاماتها على فترات الثبات الناتجة نحصل على الجدول:
|
|
|
|
نظرًا لكونهما مرتبطين ارتباطًا وثيقًا، فقد تم استخدام كلاهما بنشاط لعدة قرون في حل جميع المشكلات تقريبًا التي نشأت في عملية النشاط العلمي والتقني البشري.
ظهور مفهوم التفاضل
كان عالم الرياضيات الألماني الشهير جوتفريد فيلهلم ليبنيز، أحد المبدعين (مع إسحاق نيوتن) في حساب التفاضل والتكامل، أول من شرح ما هو التفاضل. قبل ذلك، علماء الرياضيات في القرن السابع عشر. تم استخدام فكرة غامضة وغامضة جدًا لبعض الأجزاء المتناهية الصغر "غير القابلة للتجزئة" من أي دالة معروفة، والتي تمثل قيمة ثابتة صغيرة جدًا، ولكنها لا تساوي الصفر، والتي لا يمكن أن تكون قيمة الدالة أقل منها ببساطة. من هنا كانت خطوة واحدة فقط لإدخال مفهوم الزيادات المتناهية الصغر لحجج الوظائف والزيادات المقابلة للوظائف نفسها، والتي يتم التعبير عنها من خلال مشتقات الأخيرة. وقد تم اتخاذ هذه الخطوة في وقت واحد تقريبًا من قبل العالمين العظماء المذكورين أعلاه.
واستنادا إلى الحاجة إلى حل المشاكل العملية الملحة للميكانيكا، والتي طرحت على العلم من خلال التطور السريع للصناعة والتكنولوجيا، ابتكر نيوتن ولايبنيز طرقًا عامة للعثور على معدل تغير الوظائف (في المقام الأول فيما يتعلق بالسرعة الميكانيكية للجسم على طول مسار معروف)، مما أدى إلى إدخال مفاهيم مثل مشتق وتفاضل دالة، كما وجد خوارزمية لحل المشكلة العكسية لكيفية العثور على المسافة المقطوعة باستخدام سرعة معروفة (متغيرة)، مما أدى إلى لظهور مفهوم التكامل .
في أعمال لايبنيز ونيوتن، ظهرت لأول مرة فكرة أن التفاضلات هي الأجزاء الرئيسية لزيادات الدوال Δy المتناسبة مع زيادات الوسائط Δx، والتي يمكن استخدامها بنجاح لحساب قيم الأخيرة. بمعنى آخر، اكتشفوا أن زيادة الدالة يمكن أن يتم التعبير عنها في أي نقطة (ضمن مجال تعريفها) من خلال مشتقتها كـ Δу = y"(x) Δx + αΔx، حيث α Δx هو الحد المتبقي الذي يميل إلى صفر كـ Δ×→0، أسرع بكثير من Δx نفسها.
وفقًا لمؤسسي التحليل الرياضي، فإن التفاضلات هي على وجه التحديد المصطلحات الأولى في التعبيرات الخاصة بزيادات أي دالة. لم يكن لديهم بعد مفهوم واضح لحد المتتابعات، فقد فهموا بشكل حدسي أن قيمة التفاضل تميل إلى مشتق الدالة كـ Δ×→0 - Δу/Δ×→ y"(x).
على عكس نيوتن، الذي كان في المقام الأول فيزيائيًا واعتبر الجهاز الرياضي أداة مساعدة لدراسة المشكلات الفيزيائية، أولى لايبنتز المزيد من الاهتمام لمجموعة الأدوات نفسها، بما في ذلك نظام الرموز المرئية والمفهومة للكميات الرياضية. كان هو الذي اقترح الترميز المقبول عمومًا لتفاضلات الدالة dy = y"(x)dx، والوسيطة dx ومشتقة الدالة في شكل النسبة y"(x) = dy/dx.
التعريف الحديث
ما هو التفاضل من وجهة نظر الرياضيات الحديثة؟ ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم زيادة المتغير. إذا أخذ المتغير y أولا القيمة y = y 1 ثم y = y 2، فإن الفرق y 2 ─ y 1 يسمى زيادة y.
الزيادة يمكن أن تكون إيجابية. سلبي ويساوي الصفر. يُشار إلى كلمة "الزيادة" بالرمز Δ، ويشير الترميز Δу (اقرأ "delta y") إلى زيادة القيمة y. إذن Δу = y 2 ─ y 1 .
إذا كانت قيمة Δу لدالة عشوائية y = f (x) يمكن تمثيلها في النموذج Δу = A Δkh + α، حيث لا يعتمد A على Δx، أي A = const لـ x معين، والمصطلح α لـ Δx →0 يميل إلى أن يكون أسرع من Δx نفسه، ثم المصطلح الأول ("الرئيسي")، المتناسب مع Δx، هو لـ y = f (x) تفاضلي، يُشار إليه dy أو df(x) (اقرأ "de igrek" ، "de ef من x "). ولذلك، فإن التفاضلات هي المكونات "الرئيسية" لزيادات الوظائف الخطية بالنسبة إلى Δx.
التفسير الميكانيكي
اجعل s = f (t) هي مسافة السيارة المتحركة بشكل مستقيم من موضعها الأولي (t هو وقت السفر). الزيادة Δs هي مسار النقطة خلال الفاصل الزمني Δt، والتفاضل ds = f" (t) Δt هو المسار الذي كانت ستغطيه النقطة في نفس الوقت Δt إذا حافظت على السرعة f"(t ) يتحقق في الوقت ر . بالنسبة إلى متناهية الصغر Δt، يختلف المسار التخيلي ds عن Δs الحقيقية بكمية متناهية الصغر، والتي لها ترتيب أعلى بالنسبة إلى Δt. إذا كانت السرعة في اللحظة t ليست صفرًا، فإن ds يعطي قيمة تقريبية للإزاحة الصغيرة للنقطة.
التفسير الهندسي
دع الخط L هو الرسم البياني لـ y = f(x). ثم Δ x = MQ, Δу = QM" (انظر الشكل أدناه). يقسم المماس MN القطعة Δy إلى جزأين، QN وNM." الأول يتناسب مع Δ× ويساوي QN = MQ∙tg (الزاوية QMN) = Δ× f "(x)، أي QN هو التفاضل dy.
الجزء الثاني NM" يعطي الفرق Δу ─ dy، مع Δkh→0 يتناقص الطول NM" بشكل أسرع من زيادة الوسيطة، أي أن ترتيب صغرها أعلى من ترتيب Δx. في الحالة قيد النظر، بالنسبة إلى f "(x) ≠ 0 (الظل ليس موازيًا لـ OX)، يكون المقطعان QM" وQN متكافئين؛ بمعنى آخر، "NM" يتناقص بشكل أسرع (ترتيب صغره أعلى) من الزيادة الإجمالية Δу = QM". يمكن ملاحظة ذلك في الشكل (مع اقتراب M من M، يشكل الجزء NM نسبة مئوية أصغر من المقطع QM").
لذا، بيانيًا، فإن تفاضل دالة عشوائية يساوي الزيادة في إحداثيات مماسها.
المشتقة والتفاضلية
المعامل A في الحد الأول من التعبير الخاص بزيادة دالة يساوي قيمة مشتقتها f "(x). وبالتالي، فإن العلاقة التالية تكون - dy = f "(x)Δx، أو df (x) = و "(س)Δx.
من المعروف أن زيادة الوسيطة المستقلة تساوي تفاضلها Δx = dx. وعليه يمكننا أن نكتب: f "(x) dx = dy.
إن العثور على التفاضلات (يسمى أحيانًا "حلها") يتبع نفس القواعد المتبعة في المشتقات. وترد أدناه قائمة منهم.
وما هو أكثر عمومية: زيادة الحجة أو تفاضلها
لا بد من تقديم بعض التوضيحات هنا. من الممكن تمثيل التفاضل بالقيمة f "(x)Δx عند اعتبار x كوسيطة. ولكن يمكن أن تكون الوظيفة معقدة، حيث يمكن أن تكون x دالة لبعض الوسيطات t. ثم تمثيل التفاضل بالتعبير f "( x)Δx، كقاعدة عامة، مستحيل؛ باستثناء حالة الاعتماد الخطي x = at + b.
أما بالنسبة للصيغة f "(x)dx = dy، ففي حالة الوسيطة المستقلة x (ثم dx = Δx) وفي حالة الاعتماد البارامتري لـ x على t، فهي تمثل تفاضلًا.
على سبيل المثال، يمثل التعبير 2 x Δx لـ y = x 2 تفاضله عندما تكون x هي الوسيطة. دعونا الآن نضع x = t 2 ونعتبر t وسيطة. ثم ص = س 2 = ر 4.
هذا التعبير لا يتناسب مع Δt وبالتالي فإن 2xΔx ليس تفاضليًا. يمكن إيجاده من المعادلة y = x 2 = t 4. وتبين أنها تساوي dy=4t 3Δt.
إذا أخذنا التعبير 2xdx، فإنه يمثل التفاضل y = x 2 لأي وسيطة t. في الواقع، بالنسبة لـ x = t 2 نحصل على dx = 2tΔt.
هذا يعني أن 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt، أي أن التعبيرات التفاضلية المكتوبة بدلالة متغيرين مختلفين متطابقة.
استبدال الزيادات بالفروق
إذا كانت f "(x) ≠ 0، فإن Δу و dy متكافئتان (لـ Δkh→0)؛ إذا كانت f "(x) = 0 (مما يعني dy = 0)، فهما غير متكافئين.
على سبيل المثال، إذا كانت y = x 2، فإن Δу = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2، وdy = 2xΔx. إذا كانت x=3، فلدينا Δу = 6Δx + Δx 2 و dy = 6Δx، وهي متكافئة بسبب Δx 2 →0؛ عند x=0 تكون القيم Δу = Δx 2 و dy=0 غير متكافئة.
هذه الحقيقة، جنبًا إلى جنب مع البنية البسيطة للتفاضل (أي الخطية فيما يتعلق بـ Δx)، غالبًا ما تستخدم في الحسابات التقريبية، على افتراض أن Δy ≈ dy لـ Δx صغير. عادةً ما يكون العثور على تفاضل دالة أسهل من حساب القيمة الدقيقة للزيادة.
على سبيل المثال، لدينا مكعب معدني طول ضلعه x = 10.00 cm عند تسخينه، تطول حافته بمقدار Δx = 0.001 cm. لدينا V = x 2، إذن dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (سم 3). الزيادة في الحجم ΔV تعادل dV التفاضلي، لذلك ΔV = 3 cm 3 . الحساب الكامل سيعطي ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001. ولكن في هذه النتيجة فإن جميع الأرقام باستثناء الأولى غير موثوقة؛ هذا يعني أنه لا يهم، تحتاج إلى تقريبه إلى 3 سم 3.
من الواضح أن مثل هذا النهج لن يكون مفيدًا إلا إذا كان من الممكن تقدير حجم الخطأ الذي يحدثه.
الوظيفة التفاضلية: أمثلة
دعونا نحاول إيجاد تفاضل الدالة y = x 3 دون إيجاد المشتقة. دعونا نعطي الحجة زيادة ونحدد Δу.
Δу = (Δ× + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δkh + (3xΔ× 2 + Δ× 3).
هنا المعامل A = 3x 2 لا يعتمد على Δx، لذا فإن الحد الأول يتناسب مع Δx، بينما الحد الآخر 3xΔx 2 + Δx 3 عند Δx→0 يتناقص بشكل أسرع من زيادة الوسيطة. وبالتالي فإن الحد 3x 2 Δx هو التفاضل y = x 3:
dy=3x 2 Δh=3x 2 dx أو d(x 3) = 3x 2 dx.
في هذه الحالة، d(x 3) / dx = 3x 2.
دعونا الآن نجد dy للدالة y = 1/x من خلال مشتقتها. ثم د(1/س) / دكس = ─1/س 2. وبالتالي dy = ─ Δx/x 2.
وترد أدناه فروق الوظائف الجبرية الأساسية.
الحسابات التقريبية باستخدام التفاضلية
ليس من الصعب في كثير من الأحيان حساب الدالة f (x)، وكذلك مشتقتها f "(x) عند x=a، ولكن القيام بنفس الشيء بالقرب من النقطة x=a ليس بالأمر السهل. ثم التعبير التقريبي يأتي للإنقاذ
و(أ + Δ×) ≈ و "(أ)Δ× + و(أ).
إنه يعطي قيمة تقريبية للدالة للزيادات الصغيرة Δx من خلال تفاضلها f "(a)Δx.
وبالتالي فإن هذه الصيغة تعطي تعبيرا تقريبيا للدالة عند نقطة نهاية مقطع معين طوله Δx على شكل مجموع قيمتها عند نقطة بداية هذا القسم (x=a) والتفاضل عند نفس البداية نقطة. خطأ هذه الطريقة في تحديد قيمة الدالة موضح في الشكل أدناه.
ومع ذلك، فإن التعبير الدقيق لقيمة الدالة x=a+Δ× معروف أيضًا، ويُعطى بواسطة صيغة الزيادة المحدودة (أو، بمعنى آخر، صيغة لاغرانج)
و(أ+ Δ×) ≈ و "(ξ) Δ× + و(أ)،
حيث تقع النقطة x = a+ ξ على القطعة من x = a إلى x = a + Δx، على الرغم من أن موضعها الدقيق غير معروف. تسمح لك الصيغة الدقيقة بتقدير خطأ الصيغة التقريبية. إذا وضعنا ξ = Δx /2 في صيغة لاغرانج، فبالرغم من أنها لم تعد دقيقة، إلا أنها عادةً ما تعطي تقريبًا أفضل بكثير من التعبير الأصلي من خلال التفاضل.
تقدير خطأ الصيغ باستخدام التفاضل
من حيث المبدأ، فهي غير دقيقة وتسبب أخطاء مقابلة في بيانات القياس. وهي تتميز بوجود خطأ هامشي أو باختصار الحد الأقصى - وهو رقم موجب من الواضح أنه أكبر من هذا الخطأ في القيمة المطلقة (أو في الحالات القصوى يساويه). النهاية هي حاصل قسمة القيمة المطلقة للكمية المقاسة.
اسمح باستخدام الصيغة الدقيقة y=f (x) لحساب الدالة y، لكن قيمة x هي نتيجة القياس وبالتالي تقدم خطأ في y. بعد ذلك، للعثور على الحد الأقصى للخطأ المطلق │Δу│الدالة y، استخدم الصيغة
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δkh│,
حيث │Δx│ هو الحد الأقصى لخطأ الوسيطة. يجب تقريب القيمة │Δу│ لأعلى، لأن إن استبدال حساب الزيادة بالحساب التفاضلي غير دقيق.