ضع علامة على النقاط على خط الإحداثيات. خط الإحداثيات – المعرفة هايبر ماركت
موضوع الدرس:
« الإحداثيات المباشرة»
الغرض من الدرس:
تعريف الطلاب بخط الإحداثيات والأرقام السالبة.
أهداف الدرس:
التعليمية: تعريف الطلاب بخط الإحداثيات والأرقام السالبة.
التنموية: تنمية التفكير المنطقي وتوسيع الآفاق.
التعليمية: تنمية الاهتمام المعرفي، وتعليم ثقافة المعلومات.
خطة الدرس:
لحظة المنظمة.التحقق من الطلاب واستعدادهم للدرس.
تحديث المعرفة الأساسية.إجراء مسح شفهي للطلاب حول الموضوع الذي يتم تناوله.
شرح مادة جديدة .
4. توحيد المواد المستفادة.
5. تلخيص.ملخص ما تم تعلمه في الدرس. أسئلة من الطلاب.
6. الاستنتاجات.تلخيص النقاط الرئيسية للدرس. تقييم المعرفة. صنع العلامات.
7. العمل في المنزل . العمل المستقل للطلاب مع المواد المدروسة.
المعدات: الطباشير،لوحة، شرائح.
خطة تفصيلية مفصلة
اسم المرحلة ومحتوياتها
نشاط
نشاط
طلاب
المرحلة الأولى
لحظة المنظمة. تحيات.
ملء السجل.
يحيي الفصل، ويقدم قائد الفصل قائمة بأسماء الغائبين.
الق التحية على
مدرس
المرحلة الثانية
تحديث المعرفة الأساسية.
قال العالم اليوناني القديم فيثاغورس: "الأرقام تحكم العالم". أنت وأنا نعيش في عالم الأرقام هذا، وفي سنوات الدراسةتعلم العمل مع أرقام مختلفة.
1 ما هي الأرقام التي نعرفها بالفعل لدرس اليوم؟
2 ما هي المشاكل التي تساعدنا هذه الأرقام في حلها؟
ننتقل اليوم إلى دراسة الفصل الثاني من كتابنا المدرسي “الأعداد النسبية” حيث سنوسع معرفتنا بالأرقام، وبعد دراسة الفصل “الأعداد النسبية” كاملاً سنتعلم القيام بجميع الإجراءات التي تعرفها بها ونبدأ بموضوع خط الإحداثيات.
1. الكسور الطبيعية والعادية والأعداد العشرية
2. الجمع والطرح والضرب والقسمة وإيجاد الكسور من رقم والرقم من كسره وحل المعادلات والمسائل المختلفة
المرحلة الثالثة
شرح مادة جديدة .
لنأخذ الخط المستقيم AB ونقسمه بالنقطة O إلى شعاعين إضافيين - OA وOB. دعونا نحدد قطعة وحدة على خط مستقيم ونأخذ النقطة O كنقطة الأصل والاتجاه.
تعريفات:
يسمى الخط المستقيم ذو النقطة المرجعية وقطعة الوحدة والاتجاه المختار عليه بالخط الإحداثي.
الرقم الذي يوضح موضع نقطة على الخط يسمى إحداثي هذه النقطة.
كيفية بناء خط الإحداثيات؟
جعل مباشرة
تعيين قطعة الوحدة
تشير إلى الاتجاه
يمكن تصوير خط الإحداثيات بطرق مختلفة: أفقيًا وعموديًا وفي أي زاوية أخرى للأفق، وله بداية ولكن ليس له نهاية.
التمرين 1. أي الخطوط التالية ليست خطوطًا إحداثية (شريحة)؟
لنرسم خطًا إحداثيًا، ونضع علامة على نقطة الأصل وقطعة الوحدة ونقاط الرسم 1،2،3،4 وهكذا إلى اليسار واليمين.
دعونا نلقي نظرة على خط الإحداثيات الناتج. لماذا يعتبر هذا الخط المستقيم غير مريح؟
يسمى الاتجاه إلى اليمين من نقطة الأصل موجبًا، ويُشار إلى الاتجاه على الخط المستقيم بواسطة سهم. تسمى الأرقام الموجودة على يمين النقطة O موجبة. يتم وضع الأرقام السالبة على يسار النقطة O، ويسمى الاتجاه إلى يسار النقطة O سالبًا (لم يتم الإشارة إلى الاتجاه السلبي). إذا كان خط الإحداثيات يقع عموديًا، فإن الأرقام الموجودة فوق نقطة الأصل تكون موجبة، والأرقام الموجودة أسفل نقطة الأصل تكون سالبة. تتم كتابة الأرقام السالبة بعلامة "-". يقرأون: "ناقص واحد"، "ناقص اثنين"، "ناقص ثلاثة"، إلخ. الرقم 0 - الأصل ليس رقمًا موجبًا ولا سالبًا. يفصل الأرقام الموجبة عن الأرقام السالبة.
أدى حل المعادلات ومفهوم "الدين" في حسابات التجارة إلى ظهور الأرقام السالبة.
ظهرت الأرقام السالبة في وقت لاحق بكثير من الأعداد الطبيعية والكسور العادية. تم العثور على المعلومات الأولى حول الأعداد السالبة من قبل علماء الرياضيات الصينيين في القرن الثاني. قبل الميلاد ه. ثم تم تفسير الأرقام الموجبة على أنها ملكية، والأرقام السالبة على أنها ديون ونقص. في أوروبا، جاء الاعتراف بعد ألف عام، وحتى ذلك الحين لفترة طويلةكانت الأرقام السالبة تسمى "كاذبة" أو "خيالية" أو "سخيفة". في القرن السابع عشر، تلقت الأرقام السالبة تمثيلًا هندسيًا مرئيًا على محور الأعداد
يمكنك أيضًا إعطاء أمثلة على خط الإحداثيات: مقياس الحرارة، ومقارنة قمم الجبال والمنخفضات (يتم اعتبار مستوى سطح البحر صفرًا)، والمسافة على الخريطة، وعمود المصعد، والمنازل، والرافعات.
يفكرهل تعرف أي أمثلة أخرى لخط الإحداثيات؟
مهام.
المهمة2. قم بتسمية إحداثيات النقاط.
المهمة 3. رسم النقاط على خط الإحداثيات
المهمة4 . ارسم خطًا أفقيًا وحدد النقطة O عليه، حدد النقاط A، B، C، K على هذا الخط إذا كنت تعلم أن:
A هو 9 خلايا على يمين O؛
يقع B على يسار O بمقدار 6.5 خلية؛
C هو 3½ مربعات على يمين O؛
K هو 3 مربعات على يسار O .
مسجل في الملاحظات الداعمة.
يستمعون ويكملون.
يُكملون المهمة في دفتر ملاحظاتهم ثم يشرحون إجاباتهم بصوت عالٍ.
ارسم وحدد أصل قطعة الوحدة
مثل هذا الخط المستقيم غير مناسب لأن نقطتين على الخط المستقيم تتوافقان مع نفس الرقم.
التاريخ قبل الميلاد وعصرنا.
المرحلة الرابعة
توحيد المواد المدروسة.
1. ما هو خط الإحداثيات؟
2.كيفية بناء خط الإحداثيات؟
1. يسمى الخط المستقيم ذو النقطة المرجعية وقطعة الوحدة والاتجاه المحدد عليه بالخط الإحداثي
2) إجراء مباشر
بمناسبة بداية العد التنازلي عليه
تعيين قطعة الوحدة
تشير إلى الاتجاه
المرحلة الخامسة
تلخيص
ما الجديد الذي تعلمناه اليوم؟
خط الإحداثيات والأرقام السالبة.
المرحلة السادسة
تقييم المعرفة. صنع العلامات.
العمل في المنزل.
قم بتكوين أسئلة حول الموضوع الذي يتم تناوله (اعرف الإجابات عليها)
في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الخط الإحداثي، وسوف نستمد خصائصه وخصائصه الرئيسية. دعونا صياغة وتعلم حل المشاكل الرئيسية. دعونا نحل عدة أمثلة على الجمع بين هذه المشاكل.
من مقرر الهندسة نعرف ما هو الخط المستقيم، ولكن ما الذي يجب فعله بخط مستقيم عادي حتى يصبح خطًا إحداثيًا؟
1) حدد نقطة البداية؛
2) اختر الاتجاه.
3) حدد المقياس.
يوضح الشكل 1 خطًا منتظمًا، ويوضح الشكل 2 خطًا إحداثيًا.
خط الإحداثيات هو الخط l الذي يتم اختيار نقطة البداية عليه O - أصل المرجع، والمقياس عبارة عن قطعة وحدة، أي قطعة يعتبر طولها مساويًا لواحد، واتجاه إيجابي.
ويسمى خط الإحداثيات أيضًا بالمحور الإحداثي أو المحور السيني.
دعونا نتعرف على سبب الحاجة إلى خط الإحداثيات؛ للقيام بذلك، سنحدد خاصيته الرئيسية. ينشئ خط الإحداثيات تطابقًا فرديًا بين مجموعة جميع الأرقام ومجموعة جميع النقاط على هذا الخط. وهنا بعض الأمثلة:
تم إعطاء رقمين: (علامة "+"، المعامل هو ثلاثة) و (علامة "-"، المعامل هو ثلاثة).
هنا يسمى الرقم الإحداثي A، ويسمى الرقم الإحداثي B.
ويقولون أيضًا أن صورة الرقم هي النقطة C بالإحداثيات، وصورة الرقم هي النقطة D بالإحداثيات:
لذا، نظرًا لأن الخاصية الرئيسية لخط الإحداثيات هي إنشاء تطابق واحد لواحد بين النقاط والأرقام، تنشأ مهمتان رئيسيتان: الإشارة إلى نقطة برقم معين، وقد فعلنا ذلك بالفعل أعلاه، والإشارة إلى رقم عند نقطة معينة دعونا نلقي نظرة على مثال للمهمة الثانية:
دع النقطة M تعطى:
لتحديد رقم من نقطة معينة، يجب عليك أولاً تحديد المسافة من الأصل إلى النقطة. وفي هذه الحالة، المسافة تساوي اثنين. أنت الآن بحاجة إلى تحديد علامة الرقم، أي في أي شعاع من الخط المستقيم تقع النقطة M. وفي هذه الحالة، تقع النقطة على يمين نقطة الأصل، في الشعاع الموجب، مما يعني أن الرقم سيكون لديك علامة "+".
لنأخذ نقطة أخرى ونستخدمها لتحديد الرقم:
المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة مشابهة للمثال السابق، تساوي اثنين، لكن في هذه الحالة تقع النقطة على يسار نقطة الأصل، على الشعاع السالب، مما يعني أن النقطة N تميز العدد
ترتبط جميع المشكلات النموذجية المرتبطة بخط الإحداثيات بطريقة أو بأخرى بخاصيته الرئيسية والمشكلتين الرئيسيتين اللتين قمنا بصياغتهما وحلهما.
تشمل المهام النموذجية ما يلي:
-تكون قادرة على وضع النقاط وإحداثياتها;
-فهم المقارنة بين الأرقام:
يعني التعبير أن النقطة C ذات الإحداثي 4 تقع على يمين النقطة M ذات الإحداثي 2:
والعكس صحيح، إذا علمنا موقع نقاط على خط إحداثي، فيجب أن نفهم أن إحداثياتها مرتبطة بعلاقة معينة:
دع النقطتين M(x M) و N(x N) معطاتين:
نرى أن النقطة M تقع على يمين النقطة n، مما يعني أن إحداثياتها مرتبطة ببعضها البعض
-تحديد المسافة بين النقاط.
نحن نعلم أن المسافة بين النقطتين X وA تساوي معامل العدد. دعونا نعطي نقطتين:
ثم المسافة بينهما ستكون مساوية:
مهمة أخرى مهمة للغاية هي الوصف الهندسي لمجموعات الأرقام.
لنفترض أن الشعاع يقع على المحور الإحداثي، ولا يشمل أصله، بل يشمل جميع النقاط الأخرى:
إذن، لدينا مجموعة من النقاط تقع على المحور الإحداثي. دعونا نصف مجموعة الأرقام التي تتميز بها مجموعة النقاط هذه. هناك عدد لا يحصى من هذه الأرقام والنقاط، لذلك يبدو هذا الإدخال كما يلي:
دعونا نوضح: في خيار التسجيل الثاني، إذا وضعت قوسين "("، فلن يتم تضمين الرقم الأقصى - في هذه الحالة، الرقم 3، في المجموعة، ولكن إذا وضعت قوسًا مربعًا "[ "، ثم يتم تضمين العدد الأقصى في المجموعة.
لذا، فقد كتبنا بشكل تحليلي مجموعة عددية تميز مجموعة معينة من النقاط. التدوين التحليلي، كما قلنا، يتم إما على شكل متباينة أو على شكل فاصل زمني.
يتم إعطاء مجموعة من النقاط:
في هذه الحالة، يتم تضمين النقطة a=3 في المجموعة. دعونا نصف تحليليا مجموعة الأرقام:
يرجى ملاحظة أنه يتم دائمًا وضع القوسين بعد علامة اللانهاية أو قبلها، لأننا لن نصل أبدًا إلى اللانهاية، ويمكن أن يكون هناك قوس أو قوس مربع بجوار الرقم، حسب ظروف المهمة.
دعونا نفكر في مثال لمشكلة عكسية.
يتم إعطاء خط الإحداثيات. ارسم عليها مجموعة من النقاط المقابلة للمجموعة العددية و:
ينشئ خط الإحداثيات تطابقًا فرديًا بين أي نقطة ورقم، وبالتالي بين المجموعات العددية ومجموعات النقاط. ونظرنا إلى الأشعة الموجهة في الاتجاهين الموجب والسالب، بما في ذلك رأسها وعدم تضمينه. الآن دعونا نلقي نظرة على القطاعات.
مثال 10:
يتم إعطاء مجموعة من الأرقام. ارسم مجموعة النقاط المقابلة
مثال 11:
يتم إعطاء مجموعة من الأرقام. ارسم مجموعة من النقاط:
في بعض الأحيان، لإظهار أن نهايات المقطع غير متضمنة في المجموعة، يتم رسم الأسهم:
مثال 12:
يتم إعطاء مجموعة أرقام. بناء نموذجها الهندسي:
أوجد أصغر رقم في الفترة:
أوجد أكبر رقم في الفترة إن وجد:
يمكننا أن نطرح عددا صغيرا اعتباطيا من ثمانية ونقول إن النتيجة ستكون العدد الأكبر، لكننا سنجد على الفور رقما أصغر، وستزداد نتيجة الطرح، بحيث يستحيل العثور على أكبر عدد في هذه الفترة الفاصلة.
دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه من المستحيل تحديد الرقم الأقرب لأي رقم على خط الإحداثيات، لأنه يوجد دائمًا رقم أقرب.
ما عدد الأعداد الطبيعية الموجودة في فترة معينة؟
من الفاصل نختار الأعداد الطبيعية التالية: 4، 5، 6، 7 - أربعة أرقام طبيعية.
تذكر أن الأعداد الطبيعية هي أعداد تستخدم للعد.
لنأخذ مجموعة أخرى.
مثال 13:
نظرا لمجموعة من الأرقام
بناء نموذجها الهندسي:
من المستحيل الادعاء بأنك تعرف الرياضيات إذا كنت لا تعرف كيفية إنشاء الرسوم البيانية، وتصوير عدم المساواة على خط الإحداثيات، والعمل مع محاور الإحداثيات. إن العنصر البصري في العلم أمر حيوي، لأنه بدونه أمثلة توضيحيةفي بعض الأحيان يمكن أن تشعر بالارتباك الشديد في الصيغ والحسابات. في هذه المقالة سننظر في كيفية العمل مع محاور الإحداثيات ونتعلم كيفية إنشاء رسوم بيانية بسيطة للدوال.
طلب
خط الإحداثيات هو أساس أبسط أنواع الرسوم البيانية التي يواجهها تلميذ المدرسة في طريقه التعليمي. يتم استخدامه في كل موضوع رياضي تقريبًا: عند حساب السرعة والوقت، وإسقاط أحجام الكائنات وحساب مساحتها، في علم المثلثات عند العمل مع جيب التمام وجيب التمام.
القيمة الرئيسية لمثل هذا الخط المباشر هي الوضوح. بما أن الرياضيات علم يتطلب مستوى عالالتفكير المجرد، تساعد الرسومات في تمثيل شيء ما في العالم الحقيقي. كيف يتصرف؟ في أي نقطة في الفضاء ستكون خلال بضع ثوانٍ أو دقائق أو ساعات؟ ماذا يمكن أن يقال عنها مقارنة بالأشياء الأخرى؟ ما السرعة التي يمتلكها في لحظة زمنية محددة عشوائيًا؟ كيف تميز حركته؟
ونحن نتحدث عن السرعة لسبب ما - وهذا ما تعرضه الرسوم البيانية الوظيفية غالبًا. يمكنهم أيضًا عرض التغيرات في درجة الحرارة أو الضغط داخل الجسم وحجمه واتجاهه بالنسبة للأفق. وبالتالي، فإن إنشاء خط إحداثي غالبًا ما يكون مطلوبًا في الفيزياء.
مؤامرة أحادية البعد
هناك مفهوم تعدد الأبعاد. رقم واحد فقط يكفي لتحديد موقع نقطة ما. هذا هو الحال تمامًا عند استخدام خط الإحداثيات. إذا كان الفضاء ثنائي الأبعاد، فيجب وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان، وسوف ننظر إليها بالتأكيد في وقت لاحق من هذه المقالة.
ماذا يمكنك أن ترى باستخدام النقاط الموجودة على المحور إذا كان هناك نقطة واحدة فقط؟ يمكنك رؤية حجم الجسم، وموقعه في الفضاء بالنسبة لبعض "الصفر"، أي النقطة المختارة لتكون الأصل.
لن يكون من الممكن رؤية التغييرات في المعلمات بمرور الوقت، حيث سيتم عرض جميع القراءات في لحظة واحدة محددة. ومع ذلك، عليك أن تبدأ من مكان ما! اذا هيا بنا نبدأ.
كيفية بناء محور الإحداثيات
تحتاج أولاً إلى رسم خط أفقي - سيكون هذا هو محورنا. على الجانب الأيمن سنقوم "بشحذه" بحيث يبدو كالسهم. بهذه الطريقة نشير إلى الاتجاه الذي ستزداد فيه الأرقام. عادة لا يتم وضع السهم في الاتجاه التنازلي. تقليديًا، يشير المحور إلى اليمين، لذلك سنتبع هذه القاعدة فحسب.
دعونا نضع علامة الصفر، والتي سوف تظهر أصل الإحداثيات. هذا هو المكان الذي يتم منه العد التنازلي، سواء كان الحجم أو الوزن أو السرعة أو أي شيء آخر. بالإضافة إلى الصفر، يجب أن نشير إلى ما يسمى بقيمة القسمة، أي إدخال وحدة قياسية، والتي بموجبها سنرسم كميات معينة على المحور. يجب أن يتم ذلك حتى تتمكن من العثور على طول المقطع على خط الإحداثيات.
سنضع نقاطًا أو “شقوقًا” على الخط على مسافات متساوية من بعضها البعض، ونكتب تحتها 1،2،3، وهكذا على التوالي. والآن، كل شيء جاهز. لكن ما زلت بحاجة إلى تعلم كيفية العمل مع الجدول الزمني الناتج.
أنواع النقاط على الخط الإحداثي
للوهلة الأولى، يصبح من الواضح للرسومات المقترحة في الكتب المدرسية: يمكن تظليل النقاط الموجودة على المحور أم لا. هل تعتقد أن هذا حادث؟ مُطْلَقاً! يتم استخدام النقطة "المصمتة" للمتباينة غير الصارمة - تلك التي تقرأ "أكبر من أو يساوي". إذا كنا بحاجة إلى تحديد الفاصل الزمني بشكل صارم (على سبيل المثال، يمكن لـ "x" أن تأخذ قيمًا من صفر إلى واحد، ولكنها لا تشملها)، فسنستخدم نقطة "مجوفة"، أي في الواقع، دائرة صغيرة على المحور. تجدر الإشارة إلى أن الطلاب لا يحبون عدم المساواة الصارمة، لأن العمل معهم أكثر صعوبة.
اعتمادا على النقاط التي تستخدمها على الرسم البياني، سيتم تسمية الفواصل الزمنية التي تم إنشاؤها. إذا كانت المتباينة في كلا الطرفين ليست صارمة، فسنحصل على شريحة. إذا تبين أنه "مفتوح" من جانب واحد، فسيتم تسميته بنصف الفاصل الزمني. وأخيرًا، إذا كان جزء من الخط محددًا من كلا الجانبين بنقاط مجوفة، فسيتم تسميته بالفاصل الزمني.
طائرة
عند بناء خطين، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. دعنا نقول خط أفقيسيكون محور الوقت، وسيكون المحور الرأسي هو المسافة. والآن أصبحنا قادرين على تحديد المسافة التي سيقطعها الجسم خلال دقيقة أو ساعة من السفر. وبالتالي، فإن العمل مع المستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيرات في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من دراسة الحالة الثابتة.
أبسط رسم بياني على هذا المستوى هو خط مستقيم، وهو يعكس الدالة Y(X) = aX + b. هل الخط ينحني؟ وهذا يعني أن الكائن يغير خصائصه أثناء عملية البحث.
تخيل أنك تقف على سطح أحد المباني وتحمل حجرًا في يدك الممدودة. عندما تحرره، سوف يطير للأسفل، ويبدأ حركته من سرعة الصفر. ولكن في الثانية سوف تقطع 36 كيلومترًا في الساعة. سيستمر الحجر في التسارع، ولرسم حركته بيانيًا، ستحتاج إلى قياس سرعته في عدة نقاط زمنية، مع وضع النقاط على المحور في الأماكن المناسبة.
تتم تسمية العلامات الموجودة على خط الإحداثيات الأفقي X1 وX2 وX3 افتراضيًا، وعلى خط الإحداثيات الرأسي - Y1 وY2 وY3 على التوالي. من خلال إسقاطها على المستوى وإيجاد التقاطعات، نجد أجزاء من الرسم الناتج. من خلال ربطها بخط واحد، نحصل على رسم بياني للدالة. في حالة سقوط الحجر، ستكون الدالة التربيعية: Y(X) = aX * X + bX + c.
حجم
بالطبع، ليس من الضروري وضع قيم عددية بجانب الأقسام على السطر. إذا كنت تفكر في حركة حلزون يزحف بسرعة 0.03 متر في الدقيقة، فاضبط القيم على خط الإحداثيات على الكسور. في هذه الحالة، اضبط قيمة القسمة على 0.01 متر.
من الملائم بشكل خاص إجراء مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات مربع - هنا يمكنك على الفور معرفة ما إذا كانت هناك مساحة كافية على الورقة لجدولك الزمني، وما إذا كنت لن تتجاوز الهوامش. من السهل حساب قوتك، لأن عرض الخلية في مثل هذا الكمبيوتر المحمول هو 0.5 سم. كان من الضروري تقليل الرسم. لن يؤدي تغيير مقياس الرسم البياني إلى فقدان خصائصه أو تغييرها.
إحداثيات النقطة والقطعة
عندما يتم طرح مسألة رياضية في الدرس، فقد تحتوي على معلمات لأشكال هندسية مختلفة، سواء في شكل أطوال أضلاع أو محيط أو مساحة أو في شكل إحداثيات. في هذه الحالة، قد تحتاج إلى إنشاء الشكل والحصول على بعض البيانات المرتبطة به. السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن العثور على المعلومات المطلوبة على خط الإحداثيات؟ وكيفية بناء هذا الرقم؟
على سبيل المثال، نحن نتحدث عن نقطة. بعد ذلك سيحتوي بيان المشكلة على حرف كبير، وسيكون هناك عدة أرقام بين قوسين، غالبًا رقمين (وهذا يعني أننا سنعد في مساحة ثنائية الأبعاد). إذا كان هناك ثلاثة أرقام بين قوسين، مكتوبة مفصولة بفواصل منقوطة أو فواصل، فهذه مساحة ثلاثية الأبعاد. كل قيمة عبارة عن إحداثيات على المحور المقابل: أولاً على طول الخط الأفقي (X)، ثم على طول الخط الرأسي (Y).
هل تتذكر كيفية بناء شريحة؟ لقد أخذت هذا في الهندسة. إذا كانت هناك نقطتان، فيمكنك رسم خط مستقيم بينهما. إحداثياتها هي التي تتم الإشارة إليها بين قوسين في حالة ظهور مقطع في المشكلة. على سبيل المثال: أ(15، 13) - ب(1، 4). لإنشاء مثل هذا الخط المستقيم، تحتاج إلى العثور على النقاط ووضع علامة عليها على المستوى الإحداثي، ثم توصيلها. هذا كل شئ!
وأي مضلعات، كما تعلمون، يمكن رسمها باستخدام القطاعات. حلت المشكلة.
العمليات الحسابية
لنفترض أن هناك جسمًا يتميز موضعه على طول المحور X برقمين: يبدأ عند نقطة ذات إحداثيات (-3) وينتهي عند (+2). إذا أردنا معرفة طول هذا الجسم، فيجب علينا طرح العدد الأصغر من العدد الأكبر. لاحظ أن الرقم السالب يمتص علامة الطرح لأن "ناقص في ناقص يساوي زائد". لذلك نجمع (2+3) ونحصل على 5. هذه هي النتيجة المطلوبة.
مثال آخر: لقد حصلنا على نقطة النهاية وطول الكائن، ولكن ليس نقطة البداية (ونحتاج إلى العثور عليها). وليكن موضع النقطة المعلومة (6)، وحجم الجسم محل الدراسة - (4). وبطرح الطول من الإحداثي النهائي، نحصل على الإجابة. المجموع: (6 - 4) = 2.
أرقام سلبية
في الممارسة العملية، غالبا ما يكون من الضروري العمل مع القيم السلبية. في هذه الحالة، سوف نتحرك على طول محور الإحداثيات إلى اليسار. على سبيل المثال، يطفو جسم ارتفاعه 3 سم في الماء. ثلثه مغمور في السائل، والثلثين في الهواء. بعد ذلك، باختيار سطح الماء كمحور، نحصل، باستخدام حسابات حسابية بسيطة، على رقمين: النقطة العلوية للكائن لها إحداثيات (+2)، والجزء السفلي - (-1) سنتيمتر.
من السهل أن نرى أنه في حالة المستوى، لدينا أربعة أرباع الخط الإحداثي. كل واحد منهم لديه رقم خاص به. في الجزء الأول (أعلى اليمين) ستكون هناك نقاط لها إحداثيين موجبين، في الثاني - في أعلى اليسار - ستكون القيم على طول المحور "x" سالبة، وعلى المحور "y" - إيجابي. يتم حساب الثالث والرابع عكس اتجاه عقارب الساعة.
خاصية هامة
أنت تعلم أنه يمكن تمثيل الخط المستقيم بعدد لا نهائي من النقاط. يمكننا أن ننظر بعناية كما نحب إلى أي عدد من القيم على كل جانب من المحور، لكننا لن نواجه التكرارات. يبدو هذا ساذجًا ومفهومًا، لكن هذه العبارة تنبع من حقيقة مهمة: كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة فقط على خط الإحداثيات.
خاتمة
تذكر أنه يجب إنشاء أي محاور وأشكال ورسوم بيانية، إن أمكن، باستخدام المسطرة. لم يخترع الإنسان وحدات القياس بالصدفة - إذا ارتكبت خطأً عند الرسم، فإنك تخاطر برؤية صورة ليست تلك التي كان ينبغي الحصول عليها.
كن حذرًا وحذرًا عند إنشاء الرسوم البيانية والحسابات. مثل أي علم يدرس في المدرسة، الرياضيات تحب الدقة. ابذل القليل من الجهد، ولن يستغرق الحصول على درجات جيدة وقتًا طويلاً.
خط الإحداثيات.
لنأخذ خطًا مستقيمًا عاديًا. دعنا نسميها الخط المستقيم x (الشكل 1). دعونا نختار نقطة مرجعية O على هذا الخط المستقيم، ونشير أيضًا بالسهم إلى الاتجاه الإيجابي لهذا الخط المستقيم (الشكل 2). وبالتالي، سيكون لدينا أرقام موجبة على يمين النقطة O، وأرقام سالبة على اليسار. دعونا نختار مقياسًا، أي حجم قطعة الخط المستقيم، يساوي واحدًا. لقد فعلناها خط الإحداثيات(تين. 3). يتوافق كل رقم مع نقطة واحدة محددة على هذا الخط. علاوة على ذلك، يسمى هذا الرقم إحداثي هذه النقطة. ولهذا السبب يسمى الخط بالخط الإحداثي. والنقطة المرجعية O تسمى الأصل.
على سبيل المثال، في الشكل. تقع النقطة 4 B على مسافة 2 على يمين نقطة الأصل. تقع النقطة D على مسافة 4 على يسار نقطة الأصل. وبناء على ذلك، فإن النقطة B لها الإحداثي 2، والنقطة D لها الإحداثي -4. النقطة O نفسها، كونها نقطة مرجعية، لها تنسيق 0 (صفر). عادة ما يتم كتابته بهذه الطريقة: O(0)، B(2)، D(-4). ومن أجل عدم القول باستمرار "النقطة D مع الإحداثيات كذا وكذا"، يقولون ببساطة أكثر: "النقطة 0، النقطة 2، النقطة -4". وفي هذه الحالة يكفي تحديد النقطة نفسها بإحداثياتها (الشكل 5).
بمعرفة إحداثيات نقطتين على خط الإحداثيات، يمكننا دائمًا حساب المسافة بينهما. لنفترض أن لدينا نقطتين A وB بإحداثياتي a وb، على التوالي. فيكون المسافة بينهما |a - b|. التدوين |أ - ب| يُقرأ على أنه "معامل a ناقص b" أو "معامل الفرق بين الرقمين a وb."
ما هي الوحدة؟
جبريًا، معامل الرقم x هو رقم غير سالب. يُشار إليه بـ |x|. علاوة على ذلك، إذا كانت x > 0، فإن |x| = س. إذا س< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.
هندسيًا، معامل الرقم x هو المسافة بين النقطة ونقطة الأصل. وإذا كانت هناك نقطتان بإحداثياتهما x1 وx2، فإن |x1 - x2| هي المسافة بين هذه النقاط.
تسمى الوحدة أيضًا قيمه مطلقه.
ماذا يمكننا أن نقول أيضًا عندما يتعلق الأمر بالخط الإحداثي؟ بالطبع، حول الفواصل العددية.
أنواع الفواصل العددية.
لنفترض أن لدينا رقمين a وb. علاوة على ذلك، ب> أ (ب أكبر من أ). على الخط الإحداثي، هذا يعني أن النقطة b تقع على يمين النقطة a. دعونا نستبدل b في متباينتنا بالمتغير x. هذا هو x> أ. ثم x هي جميع الأرقام الأكبر من a. على الخط الإحداثي، تكون جميع النقاط على التوالي على يمين النقطة أ. هذا الجزء من الخط مظلل (الشكل 6). تسمى هذه المجموعة من النقاط شعاع مفتوح، ويُشار إلى هذا الفاصل الرقمي بـ (a; +∞)، حيث تُقرأ الإشارة +∞ على أنها "زائد ما لا نهاية". يرجى ملاحظة أن النقطة "أ" نفسها ليست مدرجة في هذا الفاصل الزمني ويتم الإشارة إليها بدائرة ضوئية.
دعونا نفكر أيضًا في الحالة التي تكون فيها x ≥ a. ثم x هي جميع الأرقام الأكبر من أو تساوي a. على خط الإحداثيات، هذه كلها نقاط على يمين النقطة a، وكذلك النقطة a نفسها (في الشكل 7، تتم الإشارة إلى النقطة a بالفعل بدائرة مظلمة). تسمى هذه المجموعة من النقاط شعاع مغلق(أو مجرد شعاع)، ويتم تحديد هذا الفاصل العددي.
ويسمى خط الإحداثيات أيضًا محور الإحداثيات. أو فقط المحور x.
هذه المقالة مخصصة لتحليل مفاهيم مثل الشعاع الإحداثي وخط الإحداثيات. سنتناول كل مفهوم وننظر إلى الأمثلة بالتفصيل. بفضل هذه المقالة، يمكنك تحديث معرفتك أو التعرف على موضوع ما دون مساعدة المعلم.
من أجل تحديد مفهوم الشعاع الإحداثي، يجب أن يكون لديك فكرة عن ماهية الشعاع.
التعريف 1
شعاع- هذا الشكل الهندسي، الذي له أصل الشعاع الإحداثي واتجاه الحركة. عادة ما يتم تصوير الخط المستقيم أفقيًا، مما يشير إلى الاتجاه إلى اليمين.
في المثال نرى أن O هي بداية الشعاع.
مثال 1
يتم تصوير شعاع الإحداثيات بنفس المخطط، ولكنه مختلف بشكل كبير. نضع نقطة البداية ونقيس قطعة واحدة.
مثال 2
التعريف 2
قطعة الوحدةهي المسافة من 0 إلى النقطة المحددة للقياس.
مثال 3
من نهاية مقطع واحد، تحتاج إلى وضع بعض الضربات ووضع العلامات.
بفضل التلاعبات التي قمنا بها مع الشعاع، أصبح منسقًا. قم بتسمية الحدود بأرقام طبيعية بالتسلسل من 1 - على سبيل المثال، 2، 3، 4، 5...
مثال 4
التعريف 3
- هذا مقياس يمكن أن يستمر إلى أجل غير مسمى.
غالبًا ما يتم تصويره على أنه شعاع يبدأ من النقطة O، ويتم رسم قطعة وحدة واحدة. يظهر مثال في الشكل.
مثال 5
على أية حال، سنكون قادرين على مواصلة المقياس إلى العدد الذي نحتاجه. يمكنك كتابة الأرقام بشكل مريح قدر الإمكان - تحت الشعاع أو فوقه.
مثال 6
يمكن استخدام الأحرف الكبيرة والصغيرة لعرض إحداثيات الشعاع.
مبدأ تصوير خط الإحداثيات لا يختلف عمليا عن تصوير الشعاع. الأمر بسيط - ارسم شعاعًا وأضفه إلى خط مستقيم، معطيًا له اتجاهًا موجبًا، وهو ما يشار إليه بالسهم.
مثال 7
ارسم الشعاع في الاتجاه المعاكس، ومده إلى خط مستقيم
مثال 8
ضع جانبًا شرائح مفردة وفقًا للمثال أعلاه
على الجانب الأيسر اكتب الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، 5... مع الإشارة المقابلة. انتبه إلى المثال.
مثال 9
يمكنك فقط وضع علامة على الأصل والأجزاء الفردية. انظر المثال كيف سيبدو.
مثال 10
التعريف 4
- هذا خط مستقيم، تم تصويره بنقطة مرجعية معينة، والتي يتم اعتبارها 0، وقطعة وحدة واتجاه معين للحركة.
المراسلات بين النقاط على خط الإحداثيات والأعداد الحقيقية
يمكن أن يحتوي الخط الإحداثي على عدة نقاط. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالأرقام الحقيقية. يمكن تعريف ذلك على أنه مراسلات فردية.
التعريف 5
كل نقطة على خط الإحداثيات تتوافق مع رقم حقيقي واحد، وكل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات.
من أجل فهم القاعدة بشكل أفضل، يجب عليك تحديد نقطة على خط الإحداثيات ومعرفة الرقم الطبيعي الذي يتوافق مع العلامة. إذا تزامنت هذه النقطة مع نقطة الأصل، فسيتم وضع علامة صفر عليها. إذا لم تتطابق النقطة مع نقطة البداية، فإننا نؤجل العدد المطلوب من أجزاء الوحدة حتى نصل إلى العلامة المحددة. الرقم المكتوب تحته سوف يتوافق مع هذه النقطة. وباستخدام المثال أدناه سنوضح لك هذه القاعدة بوضوح.
مثال 11
إذا لم نتمكن من العثور على نقطة من خلال رسم أجزاء الوحدة، فيجب علينا أيضًا تحديد النقاط التي تشكل عُشرًا أو جزءًا من مائة أو جزءًا من الألف من قطعة الوحدة. يمكن استخدام مثال لفحص هذه القاعدة بالتفصيل.
من خلال وضع العديد من الأجزاء المتشابهة جانبًا، لا يمكننا الحصول على عدد صحيح فحسب، بل أيضًا رقم كسري - موجب وسالب.
ستساعدنا المقاطع المحددة في العثور على النقطة المطلوبة على خط الإحداثيات. يمكن أن تكون هذه أرقامًا كاملة أو كسرية. ومع ذلك، هناك نقاط على خط مستقيم يصعب جدًا العثور عليها باستخدام مقاطع فردية. هذه النقاط تتوافق مع الكسور العشرية. من أجل البحث عن مثل هذه النقطة، سيتعين عليك تخصيص جزء من الوحدة، العاشر، المائة، الألف، العشرة آلاف وأجزاء أخرى منها. نقطة واحدة على خط الإحداثيات تقابل الرقم غير العقلاني π (= 3، 141592...).
تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية جميع الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر. هذا يسمح لك بتحديد القاعدة.
التعريف 6
كل نقطة على خط الإحداثيات تقابل رقمًا حقيقيًا محددًا. تحدد النقاط المختلفة أرقامًا حقيقية مختلفة.
هذه المراسلات فريدة من نوعها - كل نقطة تتوافق مع رقم حقيقي معين. ولكن هذا يعمل أيضًا في الاتجاه المعاكس. يمكننا أيضًا تحديد نقطة معينة على خط الإحداثيات ترتبط برقم حقيقي محدد. إذا لم يكن الرقم عددًا صحيحًا، فسنحتاج إلى تحديد عدة أجزاء من الوحدات، بالإضافة إلى أجزاء من أعشار ومئات في اتجاه معين. على سبيل المثال، الرقم 400350 يتوافق مع نقطة على خط الإحداثيات، والتي يمكن الوصول إليها من نقطة الأصل عن طريق رسم في الاتجاه الموجب 400 قطعة وحدة، 3 شرائح تشكل عُشر الوحدة، و5 شرائح تشكل جزءًا من الألف.