استعادة التكاملات المنحنية للتفاضل الكلي. المعادلات في مجموع التفاضلات

التعريف 8.4.المعادلة التفاضلية للنموذج

أين
تسمى المعادلة التفاضلية الكلية.

لاحظ أن الجانب الأيسر من هذه المعادلة هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف
.

بشكل عام، يمكن تمثيل المعادلة (8.4) على النحو التالي:

بدلا من المعادلة (8.5)، يمكننا أن ننظر إلى المعادلة

وحلها هو التكامل العام للمعادلة (8.4). وبالتالي، لحل المعادلة (8.4) من الضروري إيجاد الدالة
. ووفقا لتعريف المعادلة (8.4) لدينا

(8.6)

وظيفة
سنبحث عن دالة تحقق أحد هذه الشروط (8.6):

أين - وظيفة تعسفية مستقلة عن .

وظيفة
يتم تعريفه بحيث يتم استيفاء الشرط الثاني من التعبير (8.6).

(8.7)

من التعبير (8.7) يتم تحديد الدالة
. استبداله في التعبير ل
والحصول على التكامل العام للمعادلة الأصلية.

المشكلة 8.3.دمج المعادلة

هنا
.

ولذلك تنتمي هذه المعادلة إلى نوع المعادلات التفاضلية في التفاضلات الكلية. وظيفة
سوف نبحث عنه في النموذج

على الجانب الآخر،

في بعض الحالات الشرط
قد لا تتحقق.

ثم يتم اختزال هذه المعادلات إلى النوع قيد النظر عن طريق الضرب فيما يسمى بعامل التكامل، وهو في الحالة العامة دالة فقط أو .

إذا كانت بعض المعادلات تحتوي على عامل تكامل يعتمد فقط على ، ثم يتم تحديده بواسطة الصيغة

أين العلاقة يجب أن تكون وظيفة فقط .

وبالمثل، فإن عامل التكامل يعتمد فقط على ، يتم تحديده بواسطة الصيغة

أين العلاقة
يجب أن تكون وظيفة فقط .

غياب المتغير في العلاقات المعطاة في الحالة الأولى وفي الثانية - المتغير ، هي علامة على وجود عامل تكامل لمعادلة معينة.

المشكلة 8.4.اختصر هذه المعادلة إلى معادلة في إجمالي الفروق.

النظر في العلاقة:

الموضوع 8.2. المعادلات التفاضلية الخطية

التعريف 8.5. المعادلة التفاضلية
يسمى خطيًا إذا كان خطيًا بالنسبة للوظيفة المطلوبة ، مشتق منه ولا يحتوي على منتج الدالة المطلوبة ومشتقتها.

يتم تمثيل الشكل العام للمعادلة التفاضلية الخطية بالعلاقة التالية:

(8.8)

إذا كان فيما يتعلق (8.8) الجانب الأيمن
، فإن هذه المعادلة تسمى متجانسة خطية. في حالة الجانب الأيمن
، فإن هذه المعادلة تسمى خطية غير متجانسة.

دعونا نوضح أن المعادلة (8.8) يمكن دمجها في التربيعات.

في المرحلة الأولى، نعتبر معادلة خطية متجانسة.

مثل هذه المعادلة هي معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. حقًا،

;

تحدد العلاقة الأخيرة الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة.

لإيجاد حل عام لمعادلة خطية غير متجانسة، يتم استخدام طريقة تغيير مشتقة ثابت. فكرة الطريقة هي أن الحل العام لمعادلة خطية غير متجانسة يكون بنفس شكل حل المعادلة المتجانسة المقابلة لها، ولكن ثابت اعتباطي استبدالها ببعض الوظائف
يتم تحديدها. اذا لدينا:

(8.9)

استبدال في العلاقة (8.8) التعبيرات المقابلة
و
، نحن نحصل

باستبدال التعبير الأخير في العلاقة (8.9)، نحصل على التكامل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة.

وبالتالي، يتم تحديد الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة من خلال تربيعين: الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة والحل الخاص للمعادلة الخطية غير المتجانسة.

المشكلة 8.5.دمج المعادلة

وبالتالي فإن المعادلة الأصلية تنتمي إلى نوع المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة.

في المرحلة الأولى، سنجد حلاً عامًا لمعادلة خطية متجانسة.

;

وفي المرحلة الثانية نحدد الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة الموجودة في الصورة

أين
- الوظيفة التي سيتم تحديدها.

اذا لدينا:

استبدال العلاقات ل و في المعادلة الخطية غير المتجانسة الأصلية نحصل على:

;

الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة سيكون له الشكل:

قد يحدث أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية

هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف:

وبالتالي فإن المعادلة (7) تأخذ الشكل .

إذا كانت الدالة هي حل للمعادلة (7)، إذن، وبالتالي،

حيث يكون ثابتًا، والعكس صحيح، إذا حولت بعض الوظائف المعادلة المحدودة (8) إلى هوية، فعند تمييز الهوية الناتجة، نحصل على، وبالتالي، حيث يكون ثابتًا اعتباطيًا، هو التكامل العام للأصل معادلة.

إذا تم إعطاء القيم الأولية، فسيتم تحديد الثابت من (8) و

هو التكامل الجزئي المطلوب. إذا كانت عند هذه النقطة، فسيتم تعريف المعادلة (9) على أنها دالة ضمنية لـ .

لكي يكون الجانب الأيسر من المعادلة (7) تفاضلاً كاملاً لبعض الوظائف، فمن الضروري والكافي أن

إذا تم استيفاء هذا الشرط الذي حدده أويلر، فيمكن دمج المعادلة (7) بسهولة. حقًا، . على الجانب الآخر، . لذلك،

عند حساب التكامل، تعتبر الكمية ثابتة، وبالتالي فهي دالة عشوائية لـ . لتحديد الدالة، نقوم بتمييز الدالة التي تم العثور عليها بالنسبة إلى، ومنذ ذلك الحين نحصل عليها

من هذه المعادلة نحدد ومن خلال التكامل نجد .

كما هو معروف من مسار التحليل الرياضي، من الأسهل تحديد دالة من خلال تفاضلها الإجمالي، مع أخذ التكامل المنحني بين نقطة ثابتة معينة ونقطة ذات إحداثيات متغيرة على طول أي مسار:

في أغلب الأحيان، كمسار تكامل، يكون من المناسب اتخاذ خط متقطع يتكون من وصلتين موازيتين لمحاور الإحداثيات؛ في هذه الحالة

مثال. .

الجانب الأيسر من المعادلة هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف، منذ ذلك الحين

لذلك، التكامل العام له الشكل

يمكن استخدام طريقة أخرى لتعريف الدالة:

نختار، على سبيل المثال، أصل الإحداثيات كنقطة البداية، والخط المتقطع كمسار التكامل. ثم

والتكامل العام له الشكل

وهو ما يتزامن مع النتيجة السابقة، مما يؤدي إلى قاسم مشترك.

في بعض الحالات، عندما لا يكون الجانب الأيسر من المعادلة (7) تفاضلًا كاملاً، فمن السهل تحديد دالة، بعد الضرب الذي يتحول به الجانب الأيسر من المعادلة (7) إلى تفاضل كامل. تسمى هذه الوظيفة عامل التكامل. لاحظ أن الضرب في عامل التكامل يمكن أن يؤدي إلى ظهور حلول جزئية غير ضرورية تحول هذا العامل إلى الصفر.

مثال. .

من الواضح أنه بعد الضرب في أحد العوامل، يتحول الجانب الأيسر إلى تفاضل إجمالي. في الواقع، بعد الضرب نحصل على

أو التكامل، . بالضرب في 2 والتقوية نحصل على .

وبطبيعة الحال، لا يتم دائمًا اختيار عامل التكامل بهذه السهولة. في الحالة العامة، للعثور على عامل التكامل، من الضروري تحديد حل جزئي واحد على الأقل للمعادلة في مشتقات جزئية، أو في شكل موسع، لا يساوي الصفر تمامًا

والتي، بعد القسمة على بعض الحدود ونقلها إلى جزء آخر من المساواة، يتم اختزالها إلى الشكل

في الحالة العامة، فإن تكامل هذه المعادلة التفاضلية الجزئية ليس بأي حال من الأحوال مهمة أبسط من تكامل المعادلة الأصلية، ولكن في بعض الحالات، لا يكون اختيار حل معين للمعادلة (11) أمرًا صعبًا.

بالإضافة إلى ذلك، مع الأخذ في الاعتبار أن عامل التكامل هو دالة لوسيطة واحدة فقط (على سبيل المثال، هي دالة فقط أو فقط، أو دالة فقط، أو فقط، وما إلى ذلك)، يمكن للمرء بسهولة دمج المعادلة (11) و تشير إلى الظروف التي يوجد فيها عامل التكامل من النوع قيد النظر. يحدد هذا فئات المعادلات التي يمكن العثور على عامل التكامل لها بسهولة.

على سبيل المثال، دعونا نجد الشروط التي يكون فيها للمعادلة عامل تكامل يعتمد فقط على، أي . في هذه الحالة، يتم تبسيط المعادلة (11) وتأخذ الشكل الذي نحصل منه، مع الأخذ في الاعتبار كدالة مستمرة،

إذا كانت دالة لـ فقط، فإن عامل التكامل الذي يعتمد على فقط، موجود ويساوي (12)، وإلا فلا يوجد عامل تكامل بالشكل.

يتم استيفاء شرط وجود عامل تكامل يعتمد فقط على، على سبيل المثال، لمعادلة خطية أو . بالفعل، وبالتالي. يمكن العثور على شروط وجود عوامل التكامل من النموذج، وما إلى ذلك، بطريقة مماثلة تماما.

مثال.هل تحتوي المعادلة على عامل تكامل من الشكل؟

دعونا نشير . المعادلة (11) في تأخذ الشكل، من أين أو

ومن الضروري لوجود عامل تكاملي من نوع معين ويكفي في ظل افتراض الاستمرارية أن يكون دالة فقط. وفي هذه الحالة، فإن عامل التكامل موجود ويساوي (13). عندما نتلقى. بضرب المعادلة الأصلية في ، نقوم بتبسيطها إلى النموذج

التكامل، نحصل عليه، وبعد التقوية سيكون لدينا، أو في الإحداثيات القطبية - عائلة من اللوالب اللوغاريتمية.

مثال. أوجد شكل المرآة التي تعكس جميع الأشعة الصادرة من نقطة معينة بشكل موازٍ لاتجاه معين.

لنضع أصل الإحداثيات عند نقطة معينة ونوجه محور الإحداثيات بالتوازي مع الاتجاه المحدد في ظروف المشكلة. دع الشعاع يسقط على المرآة عند النقطة . لنتأمل مقطعًا من المرآة بمستوى يمر عبر محور الإحداثي السيني والنقطة. دعونا نرسم مماسا لقسم سطح المرآة قيد النظر عند النقطة . وبما أن زاوية سقوط الشعاع تساوي زاوية الانعكاس، فإن المثلث متساوي الساقين. لذلك،

يتم دمج المعادلة المتجانسة الناتجة بسهولة عن طريق تغيير المتغيرات، ولكن من الأسهل، بعد التحرر من اللاعقلانية في المقام، إعادة كتابتها في النموذج. تحتوي هذه المعادلة على عامل تكامل واضح , , , (عائلة القطع المكافئة).

يمكن حل هذه المشكلة بشكل أكثر بساطة في الإحداثيات و أين و تأخذ معادلة قسم الأسطح المطلوبة الشكل.

من الممكن إثبات وجود عامل التكامل، أو ما هو نفسه، وجود حل غير صفري للمعادلة التفاضلية الجزئية (11) في بعض المجالات إذا كانت الدوال ولها مشتقات مستمرة وواحدة منها على الأقل وظائف لا تختفي. لذلك، يمكن اعتبار طريقة عامل التكامل طريقة عامة لتكامل المعادلات ذات الشكل، ولكن نظرًا لصعوبة العثور على عامل التكامل، تُستخدم هذه الطريقة غالبًا في الحالات التي يكون فيها عامل التكامل واضحًا.

بعض الوظائف. إذا استعدنا دالة من تفاضلها الإجمالي، فسنجد التكامل العام للمعادلة التفاضلية. أدناه سنتحدث عن طريقة استعادة دالة من مجموع تفاضلها.

الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف ش(س، ص) = 0، إذا تحقق الشرط.

لأن وظيفة تفاضلية كاملة ش(س، ص) = 0هذا أي أنه عند تحقق الشرط ذكر ذلك.

ثم، .

من المعادلة الأولى للنظام نحصل عليها . نجد الدالة باستخدام المعادلة الثانية للنظام:

بهذه الطريقة سوف نجد الوظيفة المطلوبة ش(س، ص) = 0.

مثال.

دعونا نجد الحل العام لـ DE .

حل.

في مثالنا. تم استيفاء الشرط لأن:

بعد ذلك، الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية الأولية هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف ش(س، ص) = 0. نحن بحاجة إلى العثور على هذه الوظيفة.

لأن هو التفاضل الكلي للوظيفة ش(س، ص) = 0، وسائل:

نحن نتكامل بواسطة سالمعادلة الأولى للنظام والتفاضل فيما يتعلق ذنتيجة:

من المعادلة الثانية للنظام نحصل على . وسائل:

أين مع- ثابت تعسفي.

وبالتالي فإن التكامل العام للمعادلة المعطاة سيكون .

هناك واحدة ثانية طريقة حساب الدالة من إجمالي تفاضلها. وهو يتألف من أخذ التكامل الخطي لنقطة ثابتة (س 0، ص 0)إلى نقطة ذات إحداثيات متغيرة (س، ص): . في هذه الحالة، قيمة التكامل مستقلة عن مسار التكامل. من الملائم أن نتخذ كمسار تكامل خطًا متقطعًا تكون روابطه موازية لمحاور الإحداثيات.

مثال.

دعونا نجد الحل العام لـ DE .

حل.

نتحقق من استيفاء الشرط:

وبالتالي، فإن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية هو التفاضل الكامل لبعض الوظائف ش(س، ص) = 0. دعونا نوجد هذه الدالة عن طريق حساب التكامل المنحني الخطي للنقطة (1; 1) قبل (س، ص). كمسار للتكامل، نتخذ خطًا متقطعًا: يتم تمرير القسم الأول من الخط المتقطع على طول خط مستقيم ص = 1من النقطة (1, 1) قبل (س، 1)، فإن القسم الثاني من المسار يأخذ قطعة خط مستقيم من النقطة (س، 1)قبل (س، ص):

لذا، يبدو الحل العام لجهاز التحكم عن بعد كما يلي: .

مثال.

دعونا نحدد الحل العام لـ DE.

حل.

لأن مما يعني عدم استيفاء الشرط، فإن الطرف الأيسر من المعادلة التفاضلية لن يكون تفاضلاً كاملاً للدالة وتحتاج إلى استخدام طريقة الحل الثانية (هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل).

في هذا الموضوع سنلقي نظرة على طريقة إعادة بناء دالة من مجموع تفاضلها ونعطي أمثلة للمسائل مع تحليل كامل للحل.

يحدث أن المعادلات التفاضلية (DE) بالشكل P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 قد تحتوي على تفاضلات كاملة لبعض الوظائف على الجوانب اليسرى. ومن ثم يمكننا إيجاد التكامل العام للمعادلة التفاضلية إذا قمنا أولاً بإعادة بناء الدالة من تفاضلها الإجمالي.

مثال 1

خذ بعين الاعتبار المعادلة P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. يحتوي الجانب الأيسر على تفاضل دالة معينة ش(س، ص) = 0. للقيام بذلك، يجب استيفاء الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

التفاضل الإجمالي للدالة U (x, y) = 0 له الصيغة d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. مع مراعاة الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x نحصل على:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

وبتحويل المعادلة الأولى من نظام المعادلات الناتج يمكننا الحصول على:

U (x، y) = ∫ P (x، y) d x + φ (y)

يمكننا إيجاد الدالة φ (y) من المعادلة الثانية للنظام الذي تم الحصول عليه مسبقًا:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

هكذا وجدنا الدالة المطلوبة U (x, y) = 0.

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

حل

ف (س، ص) = س 2 - ص 2، س (س، ص) = - 2 س ص

دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x قد تم استيفاءه:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

تم استيفاء شرطنا.

بناءً على الحسابات، يمكننا أن نستنتج أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية الأصلية هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (x, y) = 0. نحن بحاجة إلى العثور على هذه الوظيفة.

بما أن (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y هو التفاضل الكلي للدالة U (x, y) = 0، إذن

∂ U ∂ س = س 2 - ص 2 ∂ U ∂ ص = - 2 س ص

دعونا ندمج المعادلة الأولى للنظام فيما يتعلق بـ x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

الآن نفرق النتيجة الناتجة فيما يتعلق بـ y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

بتحويل المعادلة الثانية للنظام نحصل على: ∂ U ∂ y = - 2 x y . هذا يعني انه
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

حيث C هو ثابت تعسفي.

نحصل على: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. التكامل العام للمعادلة الأصلية هو x 3 3 - x y 2 + C = 0.

دعونا نلقي نظرة على طريقة أخرى للعثور على دالة باستخدام التفاضل الإجمالي المعروف. يتضمن استخدام التكامل المنحني من نقطة ثابتة (x 0, y 0) إلى نقطة ذات إحداثيات متغيرة (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

في مثل هذه الحالات، لا تعتمد قيمة التكامل بأي شكل من الأشكال على مسار التكامل. يمكننا أن نتخذ خطًا متقطعًا كمسار تكامل، حيث تقع روابطه بالتوازي مع محاور الإحداثيات.

مثال 3

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

حل

دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x قد تم استيفاءه:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

اتضح أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية يمثله التفاضل الكلي لبعض الوظائف U (x، y) = 0. للعثور على هذه الدالة، من الضروري حساب التكامل الخطي للنقطة (1 ; 1) قبل (س، ص). لنأخذ كطريق للتكامل خطًا متقطعًا، ستمر أجزاء منه في خط مستقيم ص = 1من النقطة (1، 1) إلى (x، 1) ثم من النقطة (x، 1) إلى (x، y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) د y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

لقد حصلنا على حل عام للمعادلة التفاضلية بالصيغة x y - x y 2 + C = 0.

مثال 4

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

حل

دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x قد تم استيفاءه.

بما أن ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x، فلن يتم استيفاء الشرط. وهذا يعني أن الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية ليس التفاضل الكامل للدالة. هذه معادلة تفاضلية ذات متغيرات قابلة للفصل والحلول الأخرى مناسبة لحلها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

التفاضلي تسمى معادلة النموذج

ص(س، ص)dx + س(س، ص)دي = 0 ,

حيث الجانب الأيسر هو التفاضل الكلي لأي دالة لمتغيرين.

دعونا نشير إلى الدالة غير المعروفة لمتغيرين (وهذا ما يجب إيجاده عند حل المعادلات في إجمالي التفاضلات) بواسطة Fوسوف نعود إليها قريبا.

أول شيء يجب عليك الانتباه إليه هو أنه يجب أن يكون هناك صفر في الطرف الأيمن من المعادلة، ويجب أن تكون الإشارة التي تربط الحدين في الطرف الأيسر علامة زائد.

ثانيا يجب مراعاة بعض المساواة مما يؤكد أن هذه المعادلة التفاضلية هي معادلة في مجموع التفاضلات. يعد هذا الفحص جزءًا إلزاميًا من خوارزمية حل المعادلات في إجمالي التفاضلات (موجود في الفقرة الثانية من هذا الدرس)، لذا فإن عملية العثور على دالة Fكثيفة العمالة للغاية ومن المهم التأكد في المرحلة الأولية من أننا لا نضيع الوقت.

لذلك، يتم الإشارة إلى الوظيفة غير المعروفة التي يجب العثور عليها بواسطة F. مجموع الفروق الجزئية لجميع المتغيرات المستقلة يعطي الفرق الكلي. لذلك، إذا كانت المعادلة معادلة تفاضلية كلية، فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو مجموع التفاضلات الجزئية. ثم حسب التعريف

مدافع = ص(س، ص)dx + س(س، ص)دي .

لنتذكر صيغة حساب التفاضل الإجمالي لدالة ذات متغيرين:

يمكننا أن نكتب حل المعادلتين الأخيرتين

نفرق بين المساواة الأولى بالنسبة للمتغير "y" والثانية - بالنسبة للمتغير "x":

وهو شرط لمعادلة تفاضلية معينة لتكون معادلة تفاضلية كلية حقًا.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية في مجموع التفاضلات

الخطوة 1.تأكد من أن المعادلة هي معادلة تفاضلية كلية. من أجل التعبير كان التفاضل الكلي لبعض الوظائف F(س، ص) ضروري وكاف لذلك . بمعنى آخر، عليك أن تأخذ المشتقة الجزئية فيما يتعلق بـ سوالمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذحد آخر، وإذا كانت هذه المشتقات متساوية، فإن المعادلة هي معادلة تفاضلية كلية.

الخطوة 2.اكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة F:

الخطوه 3.دمج المعادلة الأولى للنظام - بواسطة س (ذ F:

,
ذ.

الخيار البديل (إذا كان من الأسهل العثور على التكامل بهذه الطريقة) هو دمج المعادلة الثانية للنظام - بواسطة ذ (سيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وبهذه الطريقة يتم استعادة الوظيفة أيضًا F:

,
أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ X.

الخطوة 4.يتم التمييز بين نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) بواسطة ذ(بدلا من ذلك - وفقا ل س) ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

وفي نسخة بديلة - للمعادلة الأولى للنظام:

من المعادلة الناتجة نحدد (بدلا من ذلك)

الخطوة 5.نتيجة الخطوة 4 هي التكامل والبحث (بدلاً من ذلك، البحث عن).

الخطوة 6.استبدل نتيجة الخطوة 5 بنتيجة الخطوة 3 - في الوظيفة المستعادة عن طريق التكامل الجزئي F. ثابت تعسفي جغالبًا ما تُكتب بعد علامة المساواة - على الجانب الأيمن من المعادلة. وهكذا نحصل على حل عام للمعادلة التفاضلية في إجمالي الفروق. كما سبق ذكره، لديه النموذج F(س، ص) = ج.

أمثلة على حلول المعادلات التفاضلية في إجمالي التفاضلات

مثال 1.

الخطوة 1. المعادلة في مجموع التفاضلات سمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذمصطلح آخر
المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2. F:

الخطوه 3.بواسطة س (ذيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة F:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4. ذ

الخطوة 5.

الخطوة 6. F. ثابت تعسفي ج :
.

ما الخطأ الذي من المرجح أن يحدث هنا؟ الأخطاء الأكثر شيوعًا هي أخذ تكامل جزئي على أحد المتغيرات للتكامل المعتاد لمنتج الدوال ومحاولة التكامل بالأجزاء أو متغير الاستبدال، وكذلك أخذ المشتق الجزئي لعاملين كمشتق لـ منتج الوظائف وابحث عن المشتق باستخدام الصيغة المقابلة.

ويجب أن نتذكر ذلك: عند حساب التكامل الجزئي بالنسبة لأحد المتغيرين يكون الآخر ثابتا ويتم إخراجه من إشارة التكامل، وعند حساب المشتقة الجزئية بالنسبة لأحد المتغيرين يكون الآخر ثابتا هو أيضًا ثابت ويتم العثور على مشتق التعبير كمشتق للمتغير "الممثل" مضروبًا في الثابت.

ضمن المعادلات في مجموع التفاضلات ليس من غير المألوف العثور على أمثلة ذات دالة أسية. هذا هو المثال التالي. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الحل الخاص به يستخدم خيارًا بديلاً.

مثال 2.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 1.دعونا نتأكد من أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات . للقيام بذلك، نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ سمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ ذمصطلح آخر
. هذه المشتقات متساوية، مما يعني أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة F:

الخطوه 3.دعونا ندمج المعادلة الثانية للنظام - بواسطة ذ (سيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة F:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ X.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ X

ويعادل المعادلة الأولى للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:
.

الخطوة 6.نستبدل نتيجة الخطوة 5 بنتيجة الخطوة 3 - في الوظيفة المستعادة عن طريق التكامل الجزئي F. ثابت تعسفي جاكتب بعد علامة المساواة. وهكذا نحصل على المجموع حل المعادلة التفاضلية في التفاضلات الكلية :
.

في المثال التالي نعود من خيار بديل للخيار الرئيسي.

مثال 3.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 1.دعونا نتأكد من أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات . للقيام بذلك، نجد المشتقة الجزئية بالنسبة لـ ذمصطلح واحد على الجانب الأيسر من التعبير

والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ سمصطلح آخر
. هذه المشتقات متساوية، مما يعني أن المعادلة المعادلة في مجموع التفاضلات .

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة F:

الخطوه 3.دعونا ندمج المعادلة الأولى للنظام - بواسطة س (ذيبقى ثابتا ويخرج من علامة التكامل). وهكذا نستعيد الوظيفة F:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ ذ

ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:

مثال 4.حل المعادلة التفاضلية

الخطوة 2.دعونا نكتب نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل الدالة F:

أين توجد وظيفة غير معروفة حتى الآن لـ ذ.

الخطوة 4.نحن نفرق نتيجة الخطوة 3 (التكامل العام الموجود) فيما يتعلق بـ ذ

ويعادل المعادلة الثانية للنظام:

ومن المعادلة الناتجة نحدد:
.

الخطوة 5.ندمج نتيجة الخطوة 4 ونجد:

مثال 5.حل المعادلة التفاضلية