Jak přidat dva různé kořeny. Jaké obtíže čekají ty, kteří se zavázali provést přidání kořenů? Teď úplně sám

Druhá odmocnina z čísla x je číslo a, které po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Stejně jako u jiných čísel je povoleno provádět aritmetické operace sčítání a odčítání přes odmocniny.

Návod

1. Nejprve se při přidávání odmocnin pokuste tyto odmocniny extrahovat. To bude platné, pokud čísla pod kořenovým znakem jsou dokonalé čtverce. Řekněme, že je dán výraz?4 +?9. První číslo 4 je druhou mocninou čísla 2. Druhé číslo 9 je druhou mocninou čísla 3. Ukazuje se tedy, že: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Pokud pod kořenovým znaménkem nejsou žádné plné čtverce, zkuste přenést násobitel čísla zpod kořenového znaménka. Řekněme, nechť je uveden výraz?24 +?54. Rozložte čísla na faktor: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. V čísle 24 je faktor 4, ten, který lze přenést ze znaménka odmocniny. Číslo 54 má faktor 9. Ukazuje se tedy, že: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . V tomto příkladu se v důsledku odstranění faktoru z kořenového znaménka ukázalo, že došlo ke zjednodušení daného výrazu.

3. Nechť součet 2 odmocnin je jmenovatelem zlomku, řekněme A / (?a + ?b). A to i když stojíte před úkolem „zbavit se iracionality ve jmenovateli“. Pak můžete použít další metodu. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomku výrazem ?a - ?b. Ve jmenovateli tedy dostanete vzorec pro zkrácené násobení: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Analogicky, pokud je rozdíl kořenů dán ve jmenovateli: ?a - ?b, pak čitatel a jmenovatel zlomku musí být vynásoben výrazem?a + ?b. Řekněme například 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2* (A5 - A3).

4. Zvažte obtížnější příklad, jak se zbavit iracionality ve jmenovateli. Nechť je dán zlomek 12 / (?2 +?3 +?5). Je třeba vynásobit čitatele a jmenovatele zlomku výrazem? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( A2 + A3 - A5) / (2 * A6) = A6 * (A2 + A3 - A5) = 2 * A3 + 3 * A2 - A30.

5. A nakonec, pokud potřebujete pouze přibližnou hodnotu, můžete na kalkulačce vypočítat odmocniny. Vypočítejte hodnoty samostatně pro celé číslo a zapište je s požadovanou přesností (řekněme na dvě desetinná místa). A pak provést požadované aritmetické operace, jako s běžnými čísly. Řekněme, že potřebujete zjistit přibližnou hodnotu výrazu?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Související videa

Poznámka!
V žádném případě nelze sčítat odmocniny jako primitivní čísla, tzn. ?3 + ?2? ?5!!!

Užitečná rada
Pokud vypočítáte číslo, abyste posunuli čtverec zpod kořenového znaménka, proveďte zpětnou kontrolu - vynásobte všechny výsledné faktory a získáte původní číslo.

Vyjmutí druhé odmocniny z čísla není jedinou operací, kterou lze s tímto matematickým jevem provést. Stejně jako běžná čísla lze sčítat a odečítat odmocniny.

Pravidla pro sčítání a odčítání odmocnin

Definice 1

Akce jako sčítání a odečítání druhé odmocniny jsou možné pouze v případě, že je výraz odmocniny stejný.

Příklad 1

Můžete přidat nebo odečíst výrazy 2 3 a 63, ale ne 56 a 9 4 . Pokud je možné výraz zjednodušit a uvést jej do kořenů se stejným kořenovým číslem, pak zjednodušte a poté přidejte nebo odečtěte.

Kořenové akce: Základy

Příklad 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritmus akce:

Zjednodušte kořenový výraz. K tomu je nutné rozložit kořenový výraz na 2 faktory, z nichž jeden je druhé číslo (číslo, ze kterého se extrahuje celá druhá odmocnina, např. 25 nebo 9).
Pak musíte vzít odmocninu z druhého čísla a výslednou hodnotu zapište před znaménko kořene. Upozorňujeme, že druhý faktor se zadává pod kořenovým znakem.
Po procesu zjednodušení je nutné podtrhnout kořeny stejnými radikálními výrazy - pouze je lze sčítat a odečítat.
U kořenů se stejnými radikálními výrazy je nutné přidat nebo odečíst faktory, které předcházejí kořenovému znaku. Kořenový výraz zůstává nezměněn. Nepřidávejte ani neodečítajte kořenová čísla!

Tip 1

Pokud máte příklad se spoustou identických radikálních výrazů, podtrhněte takové výrazy jednoduchými, dvojitými a trojitými řádky, abyste proces výpočtu usnadnili.

Příklad 3

Zkusme tento příklad:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Nejprve musíte rozložit 50 na 2 faktory 25 a 2, pak vzít odmocninu z 25, což je 5, a vyjmout 5 zpod odmocniny. Poté musíte vynásobit 5 x 6 (násobitel u kořene) a získat 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Nejprve musíte rozložit 8 na 2 faktory: 4 a 2. Poté ze 4 extrahujte kořen, který se rovná 2, a vyjměte 2 zpod kořene. Poté musíte vynásobit 2 x 2 (faktor u kořene) a získat 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Nejprve musíte rozložit 12 na 2 faktory: 4 a 3. Poté extrahujte kořen ze 4, což je 2, a vyjměte ho zpod kořene. Poté musíte vynásobit 2 x 5 (faktor u kořene) a získat 10 3 .

Výsledek zjednodušení: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

V důsledku toho jsme viděli, kolik identických radikálních výrazů obsahuje tento příklad. Nyní si procvičme s dalšími příklady.

Příklad 4

Zjednodušit (45) . Faktorizujeme 45: (45) = (9 × 5) ;
Vyjmeme 3 z kořene (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Sečteme faktory v kořenech: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Příklad 5

6 40 - 3 10 + 5:

Zjednodušení 6 40 . Faktorizujeme 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Vyjmeme 2 z kořene (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Vynásobíme faktory, které jsou před kořenem: 12 10;
Výraz píšeme ve zjednodušeném tvaru: 12 10 - 3 10 + 5;
Protože první dva členy mají stejná kořenová čísla, můžeme je odečíst: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Příklad 6

Jak vidíme, radikální čísla není možné zjednodušit, proto v příkladu hledáme členy se stejnými radikálovými čísly, provádíme matematické operace (sčítání, odečítání atd.) a zapisujeme výsledek:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Tipy:

Před přidáním nebo odečtením je nutné zjednodušit (pokud je to možné) radikální výrazy.
Přidávání a odečítání kořenů s různými kořenovými výrazy je přísně zakázáno.
Nepřidávejte ani neodečítajte celé číslo ani druhou odmocninu: 3 + (2 x) 1/2 .
Při provádění akcí se zlomky musíte najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem, pak přivést zlomky ke společnému jmenovateli, poté sečíst čitatele a ponechat jmenovatele beze změny.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Teorie

Studuje se sčítání a odčítání kořenů úvodní kurz matematika. Budeme předpokládat, že čtenář zná pojem stupeň.

Definice 1

Odmocnina $n$ reálného čísla $a$ je reálné číslo $b$, jehož $n$-tá mocnina se rovná $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Zde $ a$ - kořenový výraz, $n$ - kořenový exponent, $b$ - kořenová hodnota. Kořenový znak se nazývá radikál.

Inverzní k extrakci kořene je umocňování.

Základní operace s aritmetickými kořeny:

Obrázek 1. Základní operace s aritmetickými kořeny. Author24 - online výměna studentských prací

Jak vidíme, v uvedených akcích není žádný vzorec pro sčítání a odčítání. Tyto akce s kořeny se provádějí ve formě transformací. Pro tyto transformace by měly být použity zkrácené vzorce pro násobení:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Stojí za zmínku, že operace sčítání a odčítání lze nalézt v příkladech iracionálních výrazů: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Příklady

Uvažujme na příkladech případy, kdy je „destrukce“ iracionality ve jmenovateli použitelná. Když se v důsledku transformací získá iracionální výraz jak v čitateli, tak ve jmenovateli, pak je nutné iracionalitu ve jmenovateli „zničit“.

Příklad 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

V tomto příkladu jsme vynásobili čitatel a jmenovatel zlomku konjugátem jmenovatele. Jmenovatel je tedy transformován vzorcem rozdílu čtverců.

Kořenové vzorce. vlastnosti odmocnin.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

V předchozí lekci jsme přišli na to, co je odmocnina. Je čas zjistit, co to je vzorce pro kořeny, jaké jsou kořenové vlastnosti a co se s tím vším dá dělat.

Kořenové vzorce, vlastnosti kořene a pravidla pro akce s kořeny- je to v podstatě to samé. Vzorců pro odmocniny je překvapivě málo. Což samozřejmě potěší! Spíš se dá napsat spousta všemožných vzorců, ale na praktickou a sebevědomou práci s kořeny stačí jen tři. Všechno ostatní plyne z těchto tří. Ačkoli mnozí bloudí ve třech vzorcích kořenů, ano ...

Začněme tím nejjednodušším. Tady je:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

V naší době moderních elektronických počítačů není výpočet odmocniny čísla obtížným úkolem. Například √2704=52, to vám spočítá jakákoliv kalkulačka. Kalkulačka naštěstí není jen ve Windows, ale i v obyčejném, byť nejjednodušším telefonu. Je pravda, že pokud se náhle (s malou mírou pravděpodobnosti, jejíž výpočet mimochodem zahrnuje přidání kořenů) ocitnete bez dostupných finančních prostředků, budete se bohužel muset spoléhat pouze na svůj mozek.

Trénink mysli nikdy nezklame. Zejména pro ty, kteří tak často nepracují s čísly a ještě více s odmocninami. Sčítání a odebírání kořenů je dobré cvičení pro znuděnou mysl. A přidávání kořínků vám ukážu krok za krokem. Příklady výrazů mohou být následující.

Rovnice, kterou je třeba zjednodušit, je:

√2+3√48-4×√27+√128

Toto je iracionální výraz. Abyste to zjednodušili, musíte všechny radikální výrazy omezit na obecný pohled. Děláme to ve fázích:

První číslo již nelze zjednodušit. Přejděme k druhému termínu.

3√48 faktorizujeme 48: 48=2×24 nebo 48=3×16. z 24 není celé číslo, tzn. má zlomkový zbytek. Vzhledem k tomu, že potřebujeme přesnou hodnotu, nejsou pro nás vhodné přibližné kořeny. Druhá odmocnina z 16 je 4, vyjměte ji zespoda Dostaneme: 3×4×√3=12×√3

Náš další výraz je zápor, tzn. psáno se znaménkem mínus -4×√(27.) Faktoring 27. Dostaneme 27=3×9. Nepoužíváme zlomkové faktory, protože je obtížnější vypočítat druhou odmocninu ze zlomků. Vyjmeme 9 zpod cedulky, tzn. vypočítat druhou odmocninu. Dostaneme následující výraz: -4×3×√3 = -12×√3

Další člen √128 vypočítá část, kterou lze vyjmout z kořene. 128=64×2, kde √64=8. Pokud vám to usnadní, můžete tento výraz znázornit takto: √128=√(8^2×2)

Výraz přepíšeme zjednodušenými výrazy:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Nyní sečteme čísla se stejným radikálním výrazem. Nelze sčítat ani odečítat výrazy s různými radikálními výrazy. Přidání kořenů vyžaduje dodržování tohoto pravidla.

Dostáváme následující odpověď:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Doufám, že v algebře je zvykem takové prvky vynechávat, nebude pro vás novinkou.

Výrazy mohou být reprezentovány nejen odmocninami, ale také krychlovými nebo n-tými odmocninami.

Sčítání a odčítání kořenů s různými exponenty, ale s ekvivalentním výrazem kořene, probíhá následovně:

Pokud máme výraz jako √a+∛b+∜b, můžeme tento výraz zjednodušit takto:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Dva podobné členy jsme zredukovali na společný exponent odmocniny. Zde byla použita vlastnost kořenů, která říká: pokud se číslo stupně radikálního výrazu a číslo kořenového exponentu vynásobí stejným číslem, pak jeho výpočet zůstane nezměněn.

Poznámka: Exponenty se sčítají pouze při násobení.

Zvažte příklad, kde jsou ve výrazu přítomny zlomky.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Pojďme to vyřešit krok za krokem:

5√8=5*2√2 - vyjmeme vytaženou část zpod kořene.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Pokud je tělo odmocniny reprezentováno zlomkem, pak se tento zlomek často nezmění, pokud se vezme druhá odmocnina z dělitele a dělitele. V důsledku toho jsme získali výše popsanou rovnost.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Zde je odpověď.

Hlavní věc k zapamatování je, že odmocnina se sudým exponentem není extrahována ze záporných čísel. Pokud je radikální výraz sudého stupně záporný, pak je výraz neřešitelný.

Přidání kořenů je možné pouze tehdy, pokud se radikálové výrazy shodují, protože se jedná o podobné pojmy. Totéž platí pro rozdíl.

Sčítání odmocnin s různými číselnými exponenty se provádí redukcí obou členů na společný kořenový stupeň. Tento zákon funguje stejně jako redukce na společného jmenovatele při sčítání nebo odčítání zlomků.

Pokud radikální výraz obsahuje číslo umocněné, lze tento výraz zjednodušit za předpokladu, že mezi kořenem a exponentem existuje společný jmenovatel.