Правило евклида нод. Алгоритм Евклида нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Мы можем закончить деление тогда, когда r k + 1 = 0 , при этом r k = НОД (a , b) .

Пример 1

64 и 48 .

Решение

Введем обозначения: a = 64 , b = 48 .

На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48 .

Получим 1 и остаток 16 . Получается, что q 1 = 1 , r 1 = 16 .

Вторым шагом разделим 48 на 16 , получим 3 . То есть q 2 = 3 , а r 2 = 0 . Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.

Ответ: НОД (64 , 48) = 16 .

Пример 2

Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

Решение

Делим 432 на 111 . Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432 = 111 · 3 + 99 , 111 = 99 · 1 + 12 , 99 = 12 · 8 + 3 , 12 = 3 · 4 .

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3 .

Ответ: НОД (111 , 432) = 3 .

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

Решение

Проведем последовательно деление чисел и получим НОД (661 , 113) = 1 . Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.

Ответ: НОД (661 , 113) = 1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Пример 4

Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220 = 2 · 2 · 5 · 11 и 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 . Общими в этих двух произведениях будут множители 2 , 2 и 5 . Это значит, что НОД (220 , 600) = 2 · 2 · 5 = 20 .

Пример 5

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Общими для двух чисел простые множители: 2 , 2 , 2 и 3 . Это значит, что НОД (72 , 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 .

Ответ: НОД (72 , 96) = 24 .

Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД (m · a 1 , m · b 1) = m · НОД (a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a 1 , a 2 , … , a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Пример 6

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d 2 = НОД (78 , 294) = 6 .

Теперь приступим к нахождению d 3 = НОД (d 2 , a 3) = НОД (6 , 570) . Согласно алгоритму Евклида 570 = 6 · 95 . Это значит, что d 3 = НОД (6 , 570) = 6 .

Найдем d 4 = НОД (d 3 , a 4) = НОД (6 , 36) . 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d 4 = НОД (6 , 36) = 6 .

d 4 = 6 , то есть, НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Ответ:

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Пример 7

Вычислите НОД чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение

Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78 = 2 · 3 · 13 , 294 = 2 · 3 · 7 · 7 , 570 = 2 · 3 · 5 · 19 , 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .

Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3 .

Получается, что НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 2 · 3 = 6 .

Ответ: НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и - n имеют одинаковые делители.

Пример 8

Найдите НОД отрицательных целых чисел − 231 и − 140 .

Решение

Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140 . Запишем это кратко: НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) . Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 · 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 · 1 + 7 и 42 = 7 · 6 . Получаем, что НОД (231 , 140) = 7 .

А так как НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) , то НОД чисел − 231 и − 140 равен 7 .

Ответ: НОД (− 231 , − 140) = 7 .

Пример 9

Определите НОД трех чисел − 585 , 81 и − 189 .

Решение

Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД (− 585 , 81 , − 189) = НОД (585 , 81 , 189) . Затем разложим все данные числа на простые множители: 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , 81 = 3 · 3 · 3 · 3 и 189 = 3 · 3 · 3 · 7 . Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3 . Получается, что НОД (585 , 81 , 189) = НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Ответ: НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Алгоритм Евклида

Наибольший общий делитель

Рассмотрим следующую задачу: требуется составить программу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.

Вспомним математику. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел - это самое большое натуральное число, на которое они делятся нацело. Например, у чисел 12 и 18 имеются общие делители: 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем является число 6. Это записывается так:

НОД(12, 18) = 6.

Обозначим исходные данные как М u N. Постановка задачи выглядит следующим образом:
Дано: М, N
Найти: НОД(М, N).

В данном случае какой-то дополнительной математической формализации не требуется. Сама постановка задачи носит формальный математический характер. Не существует формулы для вычисления НОД(М, N) по значениям М и N. Но зато достаточно давно, задолго до появления ЭВМ, был известен алгоритмический способ решения этой задачи. Называется он алгоритмом Евклида .

Идея алгоритма Евклида

Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если M>N, то

НОД(М, N) = НОД(М - N, N).

Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности (модуля их разности) и меньшего числа.

Легко доказать это свойство. Пусть К - общий делитель М u N (M> N). Это значит, что М = mК, N = nК, где m, n - натуральные числа, причем m > n. Тогда М - N = К(m - n), откуда следует, что К - делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются делителями их разности М - N, в том числе и наибольший общий делитель.

Второе очевидное свойство:

НОД(М, М) = М.

Для "ручного" счета алгоритм Евклида выглядит так:

1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма;

2) заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел;

3) вернуться к выполнению п. 1.

Рассмотрим этот алгоритм на примере М=32, N=24:

Структура алгоритма - цикл-пока с вложенным ветвлением. Цикл повторяется, пока значения М и N не равны друг другу. В ветвлении большее из двух значений заменяется на их разность.

А теперь посмотрите на трассировочную таблицу алгоритма для исходных значений М = 32, N = 24.

Шаг	Операция	M	N	Условие
1	ввод М	32
2	ввод N		24
3	M ¹ N			32 ¹ 24, да
4	M>N			32>24, да
5	M:=M-N	8
6	M ¹ N			8 ¹ 24, да
7	M>N			8>24, нет
8	N:=N-M		16
9	M ¹ N			8 ¹ 16, да
10	M>N			8>16, нет
11	N:=N-M		8
12	M ¹ N			8 ¹ 8, нет
13	вывод M	8
14	конец

В итоге получился верный результат.

Программа на АЯ и на Паскале

Запишем алгоритм на АЯ и программу на Паскале.

Вопросы и задания

1. Выполните на компьютере программу Evklid. Протестируйте ее на значениях М= 32, N = 24; М = 696, N = 234.

2. Составьте программу нахождения наибольшего общего делителя трех чисел, используя следующую формулу:

НОД(А, B, С) = НОД(НОД(А, В), С).

3. Составьте программу нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел, используя формулу:

А × В = НОД(А, В) × НОК(А, В).

Алгоритм Евклида - это способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Оригинальная версия алгоритма, когда НОД находится вычитанием, была открыта Евклидом (III в. до н. э). В настоящее время чаще при вычислении НОД алгоритмом Евклида используют деление, так как данный метод эффективнее.

Вычисление НОД делением

Наибольший общий делитель пары чисел – это самое большое число, которое нацело делит оба числа пары. Пусть требуется вычислить НОД для чисел 108 и 72. Алгоритм вычисления делением будет таковым:

1. Разделим большее число (делимое) на меньшее (делитель): 108 / 72 = 1, остаток 36.
2. Поскольку остаток не был равен нулю, то сделаем делитель делимым, а остаток – делителем: 72 / 36 = 2, остаток 0.
3. Когда остаток равен нулю, то делитель является искомым НОД для пары заданных чисел. То есть НОД(108, 72) = 36. Действительно, 108 / 36 = 3 и 72 / 36 = 2.

В данном алгоритме деление повторяется до тех пор, пока остаток не станет равным нулю . Когда он таковым становится, НОДом является делитель последнего деления . Например, требуется найти НОД(106, 16):

1. 106 / 16 = 6, остаток 10
2. 16 / 10 = 1, остаток 6
3. 10 / 6 = 1, остаток 4
4. 6 / 4 = 1, остаток 2
5. 4 / 2 = 2, остаток 0
6. НОД(106, 16) = 2

Вычисление НОД вычитанием

При нахождении НОД вычитанием также требуется достичь нуля. Алгоритм схож с методом деления, только здесь на каждом следующем этапе вычитаемым и уменьшаемым становятся вычитаемое и разность из предыдущего шага. При этом всегда из большего числа вычитается меньшее. Данная разновидность алгоритма подходит только для положительных целых чисел.

Пусть требуется найти НОД(108, 72):

1. 108 - 72 = 36
2. 72 - 36 = 36
3. 36 - 36 = 0
4. НОД(108, 72) = 36

Найдем НОД(44, 60):

1. 60 - 44 = 16
2. 44 - 16 = 28
3. 28 - 16 = 12
4. 16 - 12 = 4
5. 12 - 4 = 8
6. 8 - 4 = 4
7. 4 - 4 = 0
8. НОД(44, 60) = 4

Данный алгоритм иногда описывают по-другому. Вычитание заканчивают раньше, на шаге, когда одно число нацело делит другое. То есть комбинируют вычитание с проверкой делимости. Тогда нахождение НОД для 44 и 60 будет выглядеть так:

1. Делит ли 44 нацело 60? Нет. 60 - 44 = 16.
2. Делит ли 16 нацело 44? Нет. 44 - 16 = 28.
3. Делит ли 16 нацело 28? Нет. 28 - 16 = 12.
4. Делит ли 12 нацело 16? Нет. 16 - 12 = 4.
5. Делит ли 4 нацело 12? Да. Значит, НОД(44, 60) = 4.

Обратите внимание, НОДом является не частное, а делитель . Если в примере мы разделим 12 на 4, то получим частное 3. Но это не НОД.

Доказательство алгоритма Евклида

Примем во внимание факт, что если одно натуральное число из пары нацело делит другое, то их НОД будет равен меньшему из них. Записать это можно так:

если a / b нацело, то НОД(a, b) = b. Например, НОД(15, 5) = 5.

Таким образом, если в конечном итоге мы приходим к паре чисел, одно из которых делит нацело другое, то меньшее будет для обоих наибольшим общим делителем. Именно такая пара чисел ищется алгоритмом Евклида: одно число нацело делит другое.

Второй факт. Требуется доказать, что если одно число больше другого, то их наибольший общий делитель равен наибольшему общему делителю для меньшего числа из пары, и разнице большего и меньшего чисел. Это можно записать так:

если a < b, то НОД(a, b) = НОД(a, b - a).

Доказать, что НОД(a, b) = НОД(a, b - a) можно следующим образом. Пусть b - a = c. Если какое-либо число x делит нацело a и b, то оно будет также делить нацело c. Ведь если a и b различны, то делитель в них укладывается целое, но разное число раз. И если вычесть одно из другого, то делитель также должен укладываться целое число раз в полученную разность.

Если последовательно уменьшать a и b, то рано или поздно придем к такому значению меньшего из них, которое нацело делит большее. Меньшее в такой паре будет наибольшим общим делителем для исходной пары натуральных чисел. В этом и заключается алгоритм Евклида.

Наи-боль-ший об-щий де-ли-тель двух на-ту-раль-ных чи-сел $a$ и $b$ - $НОД(a, b)$ - есть наи-боль-шее чис-ло, на ко-то-рое чис-ла $a$ и $b$ де-лят-ся без остат-ка.

Для на-хож-де-ния $НОД(a, b)$ мож-но по-сту-пить сле-ду-ю-щим есте-ствен-ным об-ра-зом: раз-ло-жить оба чис-ла по сте-пе-ням про-стых чи-сел: $a = 2^{\alpha_1} \cdot 3^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n$ , $b = 2^{\beta_1} \cdot 3^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n$ , ($\alpha_k$ и $\beta_k$ мо-гут быть рав-ны ну-лю). То-гда $$НОД(a, b) = 2^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot 3^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p^{\min(\alpha_n, \beta_n)}_n.$$ На-при-мер, для на-хож-де-ния наи-боль-ше-го об-ще-го де-ли-те-ля $2625$ и $8100$ по-лу-чим: $2625 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1, 8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^0$, зна-чит $НОД(2625, 8100) = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^0 = 75$.

Су-ще-ствен-ный недо-ста-ток это-го спо-со-ба в том, что раз-ло-жить боль-шое чис-ло на про-стые мно-жи-те-ли не так про-сто, а точ-нее - не так быст-ро.

Ев-клид в 7 кни-ге «На-чал» опи-сы-ва-ет ал-го-ритм на-хож-де-ния «об-щей ме-ры двух чи-сел». Ал-го-ритм опи-сан гео-мет-ри-че-ски, как на-хож-де-ние об-щей ме-ры двух от-рез-ков. Он сво-дит-ся к «по-сле-до-ва-тель-но-му от-ня-тию» от боль-ше-го от-рез-ка мень-ше-го от-рез-ка. Те-перь этот ал-го-ритм из-ве-стен как ал-го-ритм Ев-кли-да для на-хож-де-ния наи-боль-ше-го об-ще-го де-ли-те-ля двух на-ту-раль-ных чи-сел.

Ос-нов-ная идея, на ко-то-рой ос-но-ван ал-го-ритм, со-сто-ит в том, что $НОД$ чи-сел $a$ и $b$ ра-вен $НОД$ чи-сел $b$ и $a-b$. От-сю-да сле-ду-ют, что ес-ли по-де-лить $a$ на $b$ с остат-ком, т.е. пред-ста-вить в ви-де $a = b \cdot q + r$, то $НОД(a, b) = НОД(b, r)$.

Опи-шем кра-си-вую гео-мет-ри-че-скую ин-тер-пре-та-цию ал-го-рит-ма, ин-тер-ак-тив-ная ре-а-ли-за-ция ко-то-рой пред-ло-же-на вы-ше.

В пря-мо-уголь-ни-ке с дли-на-ми сто-рон $a$ и $b$ за-кра-ши-ва-ем мак-си-маль-но воз-мож-ный квад-рат. В остав-шем-ся пря-мо-уголь-ни-ке сно-ва за-кра-ши-ва-ем мак-си-маль-но воз-мож-ный квад-рат. И так да-лее до тех пор, по-ка весь ис-ход-ный пря-мо-уголь-ник не бу-дет за-кра-шен. Дли-на сто-ро-ны са-мо-го ма-лень-ко-го квад-ра-та и бу-дет рав-на $НОД(a, b)$.

Бо-лее по-дроб-но гео-мет-ри-че-ская ин-тер-пре-та-ция опи-са-на ни-же, а па-рал-лель-но при-ве-де-но ариф-ме-ти-че-ское опи-са-ние ал-го-рит-ма Ев-кли-да.

Ин-тер-пре-та-ция ал-го-рит-ма	Ал-го-ритм Ев-кли-да
В пря-мо-уголь-ни-ке с дли-на-ми сто-рон $a$ и $b$ $(a \gt b)$ за-кра-ши-ва-ет-ся квад-рат мак-си-маль-но-го раз-ме-ра (со сто-ро-ной $b$). Эта опе-ра-ция по-вто-ря-ет-ся для не за-кра-шен-ной ча-сти сколь-ко воз-мож-но.	Боль-шее чис-ло $a$ де-лит-ся с остат-ком на мень-шее чис-ло $b$: $a = b \cdot q_1 + r_1$.
Ес-ли та-кие квад-ра-ты за-мо-ща-ют весь пря-мо-уголь-ник, то чис-ло $b$ и есть $НОД$.	Ес-ли оста-ток $r_1$ от де-ле-ния ра-вен ну-лю, то мень-шее чис-ло $b$ и есть $НОД$.
Ес-ли оста-ёт-ся пря-мо-уголь-ник (со сто-ро-на-ми $b$ и $r_1$), в нём за-кра-ши-ва-ет-ся наи-боль-шее воз-мож-ное чис-ло квад-ра-тов мак-си-маль-но-го раз-ме-ра (со сто-ро-ной $r_1$).	Ес-ли оста-ток $r_1$ не ра-вен ну-лю, то мень-шее чис-ло $b$ де-лит-ся с остат-ком на $r_1$: $b = r_1 \cdot q_2 + r_2$.
Ес-ли квад-ра-ты со сто-ро-ной $r_1$ за-мо-ща-ют весь пря-мо-уголь-ник, то $r_1$ и есть $НОД$.	Ес-ли в ре-зуль-та-те вто-ро-го де-ле-ния оста-ток $r_2$ ра-вен ну-лю, то $r_1$ и есть $НОД$.
Ес-ли оста-ёт-ся пря-мо-уголь-ник (со сто-ро-на-ми $r_1$ и $r_2$), в нём за-кра-ши-ва-ет-ся наи-боль-шее воз-мож-ное чис-ло квад-ра-тов мак-си-маль-но-го раз-ме-ра (со сто-ро-ной $r_2$).	Ес-ли оста-ток $r_2$ при вто-ром де-ле-нии не ра-вен ну-лю, то $r_1$ де-лит-ся на $r_2$: $r_1 = r_2 \cdot q_3 + r_3$.
И так да-лее до тех пор, по-ка весь ис-ход-ный пря-мо-уголь-ник не по-кро-ет-ся квад-ра-та-ми. (Ра-но или позд-но это про-изой-дёт, по-сколь-ку сто-ро-ны квад-ра-тов умень-ша-ют-ся и в лю-бом слу-чае мож-но за-пол-нить остав-ший-ся пря-мо-уголь-ник квад-ра-та-ми со сто-ро-ной еди-ни-ца).	И так да-лее до тех пор, по-ка не по-лу-чит-ся оста-ток $r_n$ рав-ный ну-лю (ра-но или позд-но это про-изой-дёт, по-сколь-ку остат-ки умень-ша-ют-ся).
Дли-на сто-ро-ны ми-ни-маль-но-го квад-ра-та и есть $НОД$ ис-ход-ных чи-сел.	По-след-ний не рав-ный ну-лю оста-ток $r_{n-1}$ и есть $НОД$ ис-ход-ных чи-сел.

Ал-го-ритм Ев-кли-да яв-ля-ет-ся мощ-ным ин-стру-мен-том, ис-поль-зу-е-мым при ре-ше-нии раз-лич-ных за-дач. На-при-мер, он ис-поль-зу-ет-ся для ре-ше-ния урав-не-ний в це-лых чис-лах, пред-став-ле-ния чи-сел в ви-де непре-рыв-ных (цеп-ных) дро-бей, его мож-но обоб-щить для на-хож-де-ния наи-боль-ше-го об-ще-го де-ли-те-ля двух мно-го-чле-нов.

Ли-те-ра-ту-ра

Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги VII, X. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Р. Ку-рант, Г. Ро-бинс. Что та-кое ма-те-ма-ти-ка? - М.: МЦНМО, 2010.