علم الإحصاء هو فرع من فروع الميكانيكا النظرية. دورة قصيرة في الميكانيكا النظرية

يغطي المساق: حركيات النقطة والجسم الصلب (ومن وجهات نظر مختلفة يُقترح النظر في مشكلة توجيه الجسم الصلب) ، والمشاكل الكلاسيكية لديناميكيات الأنظمة الميكانيكية وديناميات الجسم الصلب ، عناصر الميكانيكا السماوية ، حركة الأنظمة ذات التكوين المتغير ، نظرية التأثير ، المعادلات التفاضلية للديناميكيات التحليلية.

تشمل الدورة جميع الأقسام التقليدية الميكانيكا النظريةومع ذلك ، يتم إيلاء اهتمام خاص للأقسام الأكثر جدوى وقيمة لنظرية وتطبيقات أقسام الديناميات وأساليب الميكانيكا التحليلية ؛ تتم دراسة الإحصائيات كجزء من الديناميكيات ، وفي قسم علم الحركة ، يتم تقديم المفاهيم اللازمة لقسم الديناميكيات والجهاز الرياضي بالتفصيل.

مصادر المعلومات

Gantmakher F.R. محاضرات في الميكانيكا التحليلية. - الطبعة الثالثة. - م: فيزاتليت ، 2001.
Zhuravlev V.F. أساسيات الميكانيكا النظرية. - الطبعة الثانية. - م: فيزاتليت ، 2001 ؛ الطبعة الثالثة. - م: فيزاتليت ، 2008.
ماركيف أ. الميكانيكا النظرية. - موسكو - إيجيفسك: مركز الأبحاث "الديناميكيات المنتظمة والفوضوية" ، 2007.

متطلبات

تم تصميم الدورة للطلاب الذين يمتلكون جهاز الهندسة التحليلية والجبر الخطي في نطاق برنامج السنة الأولى في إحدى الجامعات التقنية.

برنامج الدورة

1. حركيات النقطة
1.1 مشاكل الكينماتيكا. نظام الإحداثيات الديكارتية. تحلل المتجه على أساس متعامد. متجه الشعاع وإحداثيات النقطة. سرعة النقطة والتسارع. مسار الحركة.
1.2 مثلث طبيعي. تمدد السرعة والتسارع في محاور ثلاثي السطوح الطبيعي (نظرية هويجنز).
1.3 إحداثيات نقطية منحنية ، أمثلة: أنظمة إحداثيات قطبية ، أسطوانية وكروية. مكونات السرعة وإسقاطات التسارع على محاور نظام إحداثيات منحني.

2. طرق تحديد اتجاه الجسم الصلب
2.1. صلب. أنظمة إحداثيات ثابتة ومرتبطة بالجسم.
2.2. مصفوفات الدوران المتعامد وخصائصها. نظرية الدوران المحدود لأويلر.
2.3 وجهات النظر النشطة والسلبية على التحول المتعامد. إضافة الأدوار.
2.4 زوايا الدوران المحدودة: زوايا أويلر وزوايا "الطائرة". التعبير عن المصفوفة المتعامدة بدلالة زوايا الدوران المحدودة.

3. الحركة المكانية لجسم صلب
3.1. حركة انتقالية ودورانية لجسم صلب. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي.
3.2 توزيع السرعات (صيغة أويلر) والتسارع (صيغة Rivals) لنقاط الجسم الصلب.
3.3 الثوابت الحركية. برغي حركي. المحور اللولبي الفوري.

4. حركة موازية للطائرة
4.1 مفهوم الحركة المتوازية للجسم. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي في حالة الحركة الموازية للمستوى. مركز السرعة اللحظي.

5. حركة معقدة لنقطة وجسم صلب
5.1 أنظمة إحداثيات ثابتة ومتحركة. الحركة المطلقة والنسبية والمجازية لنقطة.
5.2 نظرية إضافة السرعات في حالة الحركة المعقدة لنقطة ، السرعات النسبية والتصويرية لنقطة. نظرية كوريوليس حول إضافة تسارع للحركة المعقدة لنقطة ، تسارع نسبي ، متعدية وكوريوليس للنقطة.
5.3 السرعة الزاوية المطلقة والنسبية والمحمولة والتسارع الزاوي للجسم.

6. حركة جسم صلب بنقطة ثابتة (عرض رباعي)
6.1 مفهوم الأعداد المعقدة و hypercomplex. الجبر الرباعي. منتج كواتيرنيون. الرباعي المقترن والمعكوس والقاعدة والمعامل.
6.2 التمثيل المثلثي للوحدة الرباعية. طريقة رباعي لتحديد دوران الجسم. نظرية الدوران المحدود لأويلر.
6.3 العلاقة بين مكونات الرباعية في قواعد مختلفة. إضافة الأدوار. معلمات رودريغز هاملتون.

7. عمل الامتحان

8. المفاهيم الأساسية للديناميكيات.
8.1 الزخم ، الزخم الزاوي (العزم الحركي) ، الطاقة الحركية.
8.2 قوة القوى وعمل القوى والجهد والطاقة الكلية.
8.3 مركز الكتلة (مركز القصور الذاتي) للنظام. لحظة القصور الذاتي للنظام حول المحور.
8.4 لحظات من القصور الذاتي حول المحاور المتوازية ؛ نظرية هويجنز-شتاينر.
8.5 موتر وإهليلجي للقصور الذاتي. المحاور الرئيسية للقصور الذاتي. خصائص اللحظات المحورية من القصور الذاتي.
8.6 حساب الزخم الزاوي والطاقة الحركية للجسم باستخدام موتر القصور الذاتي.

9. النظريات الأساسية للديناميكيات في الأطر المرجعية بالقصور الذاتي وغير القصور الذاتي.
9.1 نظرية حول التغيير في زخم النظام في إطار مرجعي بالقصور الذاتي. نظرية حركة مركز الكتلة.
9.2 نظرية التغيير في الزخم الزاوي للنظام في الإطار المرجعي بالقصور الذاتي.
9.3 نظرية حول التغير في الطاقة الحركية للنظام في إطار مرجعي بالقصور الذاتي.
9.4 القوى المحتملة والجيروسكوبية والمشتتة.
9.5 النظريات الأساسية للديناميكيات في الأطر المرجعية غير بالقصور الذاتي.

10. حركة جسم صلب مع نقطة ثابتة عن طريق القصور الذاتي.
10.1 معادلات أويلر الديناميكية.
10.2 حالة أويلر ، التكاملات الأولى للمعادلات الديناميكية ؛ تناوب دائم.
10.3 تفسيرات Poinsot و Macculag.
10.4 حركة منتظمة في حالة التناظر الديناميكي للجسم.

11. حركة جسم صلب ثقيل ذو نقطة ثابتة.
11.1 الصياغة العامة لمشكلة حركة جسم صلب ثقيل حوله.
نقطة ثابتة. معادلات أويلر الديناميكية وتكاملاتها الأولى.
11.2 التحليل النوعي لحركة جسم صلب في حالة لاغرانج.
11.3 الدفع المنتظم الإجباري لجسم صلب متماثل ديناميكيًا.
11.4 الصيغة الأساسية للجيروسكوب.
11.5 مفهوم النظرية الأولية للجيروسكوبات.

12. ديناميات نقطة في المجال المركزي.
12.1 معادلة بينيه.
12.2 معادلة المدار. قوانين كبلر.
12.3 مشكلة التشتت.
12.4 مشكلة الجثتين. معادلات الحركة. جزء لا يتجزأ من الطاقة ، لا يتجزأ من لابلاس.

13. ديناميات النظم ذات التكوين المتغير.
13.1 المفاهيم الأساسية والنظريات حول تغيير الكميات الديناميكية الأساسية في الأنظمة ذات التركيب المتغير.
13.2 حركة نقطة مادية ذات كتلة متغيرة.
13.3 معادلات حركة جسم متغير التكوين.

14. نظرية الحركات الاندفاعية.
14.1 المفاهيم الأساسية والبديهيات لنظرية الحركات الاندفاعية.
14.2 نظريات حول تغيير الكميات الديناميكية الأساسية أثناء الحركة الاندفاعية.
14.3 الحركة الاندفاعية لجسم صلب.
14.4 اصطدام جسمين صلبين.
14.5 نظريات كارنو.

15. اختبار

نتائج التعلم

نتيجة إتقان النظام ، يجب على الطالب:

يعرف:
- المفاهيم الأساسية ونظريات الميكانيكا وطرق دراسة حركة الأنظمة الميكانيكية الناشئة عنها ؛
يكون قادرا على:
- صياغة المشاكل بشكل صحيح من حيث الميكانيكا النظرية ؛
- تطوير نماذج ميكانيكية ورياضية تعكس بشكل مناسب الخصائص الرئيسية للظواهر قيد الدراسة ؛
- تطبيق المعرفة المكتسبة لحل المشاكل المحددة ذات الصلة ؛
ملك:
- مهارات في حل المشكلات الكلاسيكية للميكانيكا النظرية والرياضيات ؛
- مهارات دراسة مشاكل الميكانيكا وبناء النماذج الميكانيكية والرياضية التي تصف بشكل مناسب مجموعة متنوعة من الظواهر الميكانيكية ؛
- مهارات في الاستخدام العملي لأساليب ومبادئ الميكانيكا النظرية في حل المشكلات: حساب القوة ، وتحديد الخصائص الحركية للأجسام بطرق مختلفة لتحديد الحركة ، وتحديد قانون حركة الأجسام المادية والأنظمة الميكانيكية تحت تأثير القوى ؛
- مهارات إتقان المعلومات الجديدة بشكل مستقل في عملية الإنتاج والأنشطة العلمية ، باستخدام تقنيات التعليم والمعلومات الحديثة ؛

محتوى

معادلات الحركة

حركيات النقطة المادية

تحديد سرعة نقطة ما وتسارعها وفقًا لمعادلات حركتها

معطى: معادلات حركة النقطة: x = 12 خطيئة (πt / 6)، سم؛ ص = 6 cos 2 (πt / 6)، سم.

حدد نوع مساره ولحظة الزمن t = 1 ثانيةأوجد موضع نقطة على المسار ، وسرعتها ، وتسارعاتها الكاملة والماسية والعادية ، بالإضافة إلى نصف قطر انحناء المسار.

حركة انتقالية ودورانية لجسم صلب

معطى:
ر = 2 ثانية ؛ ص 1 = 2 سم ، R 1 = 4 سم ؛ ص 2 = 6 سم ، R 2 = 8 سم ؛ ص 3 \ u003d 12 سم ، R 3 = 16 سم ؛ ق 5 \ u003d ر 3-6 طن (سم).

أوجد عند الزمن t = 2 سرعات النقطتين أ ، ج ؛ التسارع الزاوي للعجلة 3 ؛ تسريع النقطة B وتسريع الرف 4.

التحليل الحركي لآلية مسطحة

معطى:
R 1 ، R 2 ، L ، AB ، ω 1.
البحث عن: ω 2.

تتكون الآلية المسطحة من قضبان 1 ، 2 ، 3 ، 4 ومنزلق E. ترتبط القضبان عن طريق مفصلات أسطوانية. تقع النقطة D في منتصف الشريط AB.
معطى: ω 1 ، ε 1.
البحث: السرعات V A و V B و V D و V E ؛ السرعات الزاوية 2 و ω 3 و ω 4 ؛ تسارع أ ب ؛ التسارع الزاوي AB للوصلة AB ؛ مواضع لمراكز السرعات اللحظية P 2 و P 3 للوصلات 2 و 3 للآلية.

تحديد السرعة المطلقة والتسارع المطلق لنقطة

لوحة مستطيلة تدور حول محور ثابت وفقًا للقانون φ = 6 طن 2-3 طن 3. يظهر الاتجاه الإيجابي لقراءة الزاوية φ في الأشكال بواسطة سهم مقوس. محور الدوران OO 1 تقع في مستوى اللوحة (اللوحة تدور في الفضاء).

تتحرك النقطة M على طول الخط المستقيم BD على طول اللوحة. يتم إعطاء قانون حركته النسبية ، أي الاعتماد s = AM = 40 (ر - 2 ر 3) - 40(s - بالسنتيمتر ، t - بالثواني). المسافة ب = 20 سم. في الشكل ، تظهر النقطة M في الموضع حيث s = AM > 0 (لـ s< 0 النقطة م على الجانب الآخر من النقطة أ).

أوجد السرعة المطلقة والتسارع المطلق للنقطة M عند الزمن t 1 = 1 ثانية.

ديناميات

تكامل المعادلات التفاضلية لحركة نقطة مادية تحت تأثير القوى المتغيرة

يتحرك الحمل D للكتلة m ، بعد أن تلقى سرعة ابتدائية V 0 عند النقطة A ، في أنبوب منحني ABC يقع في مستوى عمودي. في القسم AB ، الذي يبلغ طوله l ، يتأثر الحمل بقوة ثابتة T (يظهر اتجاهها في الشكل) والقوة R لمقاومة الوسط (وحدة هذه القوة هي R = μV في الشكل 2 ، يتم توجيه المتجه R عكس السرعة V للحمل).

بعد أن أكمل الحمل حركته على القسم AB ، عند النقطة B من الأنبوب ، دون تغيير قيمة معامل السرعة ، ينتقل إلى القسم BC. في القسم BC ، تؤثر قوة متغيرة F على الحمل ، يُعطى الإسقاط F x منها على المحور x.

بالنظر إلى الحمل كنقطة مادية ، ابحث عن قانون حركته في القسم BC ، أي x = f (t) ، حيث x = BD. تجاهل احتكاك الحمولة على الأنبوب.

حل التنزيل

نظرية التغيير في الطاقة الحركية للنظام الميكانيكي

يتكون النظام الميكانيكي من أوزان 1 و 2 ، أسطوانة أسطوانية 3 ، بكرتان من مرحلتين 4 و 5. أجسام النظام متصلة بواسطة خيوط ملفوفة على بكرات ؛ أقسام من الخيوط موازية للطائرات المقابلة. تتدحرج الأسطوانة (الأسطوانة الصلبة المتجانسة) على طول المستوى المرجعي دون الانزلاق. نصف قطر خطوات البكرتين 4 و 5 هي R 4 = 0.3 m على التوالي ، r 4 = 0.1 m ، R 5 = 0.2 m ، r 5 = 0.1 m. تعتبر كتلة كل بكرة موزعة بشكل موحد على طول حافتها الخارجية . المستويات الداعمة للأوزان 1 و 2 خشنة ، ومعامل الاحتكاك الانزلاقي لكل وزن هو f = 0.1.

تحت تأثير القوة F ، التي يتغير معاملها وفقًا للقانون F = F (s) ، حيث s هي إزاحة نقطة تطبيقه ، يبدأ النظام في التحرك من حالة السكون. عندما يتحرك النظام ، تعمل قوى المقاومة على البكرة 5 ، وتكون اللحظة التي تكون فيها بالنسبة لمحور الدوران ثابتة وتساوي M 5.

أوجد قيمة السرعة الزاوية للبكرة 4 في الوقت الذي تصبح فيه الإزاحة s لنقطة تطبيق القوة مساوية لـ s 1 = 1.2 m.

حل التنزيل

تطبيق المعادلة العامة للديناميكيات لدراسة حركة النظام الميكانيكي

بالنسبة للنظام الميكانيكي ، حدد العجلة الخطية أ 1. ضع في اعتبارك أنه بالنسبة للكتل والبكرات ، يتم توزيع الكتل على طول نصف القطر الخارجي. تعتبر الكابلات والأحزمة عديمة الوزن وغير قابلة للتمدد ؛ لا يوجد انزلاق. تجاهل الاحتكاك المتدحرج والانزلاق.

حل التنزيل

تطبيق مبدأ دالمبرت على تحديد ردود أفعال دعامات الجسم الدوار

عمود رأسي AK يدور بشكل موحد بسرعة زاوية ω = 10 s -1 ثابت بمحمل دفع عند النقطة A ومحمل أسطواني عند النقطة D.

قضيب عديم الوزن 1 بطول l 1 = 0.3 m متصل بشكل صارم بالعمود ، وفي نهايته الحرة حمولة كتلته م 1 = 4 كجم ، وقضيب متجانس 2 بطول l 2 = 0.6 م كتلتها م 2 = 8 كجم. يقع كلا القضيبين في نفس المستوى الرأسي. يشار إلى نقاط ربط القضبان بالعمود ، وكذلك الزوايا α و في الجدول. الأبعاد AB = BD = DE = EK = b ، حيث b = 0.4 m خذ الحمل كنقطة مادية.

إهمال كتلة العمود ، وتحديد ردود فعل محمل الدفع والمحمل.

الطبعة العشرون. - م: 2010. - 416 ص.

يلخص الكتاب أساسيات ميكانيكا النقطة المادية ونظام النقاط المادية والجسم الصلب في مجلد يتوافق مع برامج الجامعات التقنية. يتم إعطاء العديد من الأمثلة والمهام ، والتي يصاحب الحلولها إرشادات مناسبة. لطلاب الجامعات التقنية بدوام كامل والمراسلات.

شكل:بي دي إف

الحجم: 14 ميجا بايت

مشاهدة ، تنزيل: drive.google

جدول المحتويات
مقدمة للطبعة الثالثة عشرة 3
مقدمة 5
القسم الأول: إحصائيات دولة صلبة
الفصل الأول المفاهيم الأساسية الأحكام الأولية للمادة 9
41. جسم صلب تمامًا. قوة. مهام الإحصاء 9
12. الأحكام الأولية للإحصاءات »11
3. الروابط وردود أفعالهم 15
الباب الثاني. تكوين القوات. نظام القوى المتقاربة 18
§ أربعة. هندسيا! طريقة الجمع بين القوى. نتيجة تلاقي القوى وتحلل القوى 18
و 5. قوة الإسقاطات على المحور وعلى المستوى ، طريقة تحليلية لتحديد وإضافة القوى 20
16. توازن نظام القوى المتقاربة. . . 23
17. حل مشاكل احصائيات. 25
الفصل الثالث. لحظة القوة حول المركز. الحلقة 31
ط 8. لحظة القوة حول المركز (أو النقطة) 31
| 9. زوجان من القوات. 33
و 10 *. نظريات الجمع بين التكافؤ والجمع الزوجي 35
الفصل الرابع. جلب نظام القوات إلى المركز. شروط التوازن ... 37
و 11. نظرية نقل القوة الموازية 37
112. جلب نظام القوات إلى مركز معين -. .38
§ 13. شروط توازن نظام القوى. نظرية لحظة النتيجة 40
الفصل الخامس: نظام القوات المسطح 41
§ 14. اللحظات الجبرية للقوة والأزواج 41
115. تخفيض نظام القوات المسطح إلى أبسط شكل .... 44
§ 16. توازن نظام القوات المسطحة. حالة القوات الموازية. 46
§ 17. حل المشكلات 48
118- ميزان أجهزة الجسم 63
§ 19 *. أنظمة الهيئات (الهياكل) المحددة إحصائيًا وغير المحددة بشكل ثابت 56 "
و 20 *. تعريف القوى الداخلية. 57
§ 21 *. توزيع القوات 58
E22 *. 61- حياكة الدعامات
الفصل السادس. الاحتكاك 64
! 23. قوانين الاحتكاك المنزلق 64
: 24. تفاعلات رابطة خشنة. زاوية الاحتكاك 66
: 25. التوازن في وجود الاحتكاك 66
(26 *. احتكاك الخيط على سطح أسطواني 69
1 27 *. الاحتكاك المتداول 71
الفصل السابع. نظام القوات المكاني 72
§28. لحظة القوة حول المحور. حساب المتجه الرئيسي
واللحظة الرئيسية لنظام القوى 72
§ 29 *. الحد من النظام المكاني للقوات إلى أبسط صورة 77
§ ثلاثون. توازن النظام المكاني التعسفي للقوى. حالة القوات الموازية
الفصل الثامن. مركز الثقل 86
§31. مركز القوى الموازية 86
§ 32. مجال القوة. مركز الثقل لجسم صلب 88
33. إحداثيات مراكز الثقل للأجسام المتجانسة 89
34. طرق تحديد إحداثيات مراكز جاذبية الأجسام. 90
35. مراكز الثقل لبعض الأجسام المتجانسة 93
القسم الثاني حركيات نقطة وجسم صلب
الفصل التاسع. الكينماتيكا النقطية 95
§ 36. مقدمة في علم الحركة 95
§ 37. طرق تحديد حركة نقطة. . 96
§38. متجه سرعة النقطة. 99
المادة 39
§40. تحديد سرعة النقطة وتسارعها بطريقة الإحداثيات لتحديد الحركة 102
§41. حل مسائل علم الحركة النقطية 103
§ 42. محاور ثلاثي السطوح الطبيعي. قيمة السرعة العددية 107
43. التسارع المماسي والعادي لنقطة 108
§44. بعض الحالات الخاصة لحركة نقطة في البرنامج
§45. الرسوم البيانية للحركة والسرعة والتسارع للنقطة 112
§ 46. حل المشكلات< 114
§47 *. سرعة وتسارع نقطة في الإحداثيات القطبية 116
الفصل العاشر: حركات انتقالية ودورانية لهيئة صلبة. . 117
§48. 117ـ الجراح
§ 49. الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي 119
§خمسون. التناوب المنتظم والموحد 121
§51. سرعات وتسارعات نقاط جسم دوار 122
الفصل الحادي عشر. حركة موازية للمستوى لجسم صلب 127
§52. معادلات الحركة الموازية للطائرة (حركة الشكل المستوي). تحلل الحركة إلى متعدية ودورانية 127
§53 *. تحديد مسارات نقاط المستوى المستوي الشكل 129
§54. تحديد سرعات النقاط على شكل مستو 130
55. نظرية الإسقاطات لسرعات نقطتين من الجسم 131
§ 56. تحديد سرعات نقاط الشكل المستوي باستخدام مركز السرعات اللحظي. مفهوم النقطه الوسطى 132
§57. 136
§58 *. تحديد تسارع نقاط المستوى رقم 140
§59 *. مركز التسارع الفوري "*" *
الفصل الثاني عشر *. 147- حركة جسم صلب حول نقطة ثابتة وحركة جسم جامد حر
§ 60. حركة جسم صلب له نقطة ثابتة واحدة. 147
§61. معادلات أويلر الحركية 149
§62. سرعات وتسارع نقاط الجسم 150
§ 63. الحالة العامة لحركة جسم جامد حر 153
الفصل الثالث عشر. الحلقة 155
64- الحركات النسبية والمجازية والمطلقة 155
§ 65 ، نظرية إضافة السرعة »156
§66. نظرية إضافة التسارع (نظرية كوريول) 160
§67. حل مشكلة 16 *
الفصل الرابع عشر *. الحركة المعقدة لجسم صلب 169
§68. إضافة الحركات متعدية 169
§69. اضافة دوران حول محورين متوازيين 169
§70. 172
71. إضافة دورات حول محاور متقاطعة 174
§72. إضافة الحركات الترجمية والتناوبية. حركة اللولب 176
القسم الثالث ديناميكيات النقطة
الفصل الخامس عشر: مقدمة في الديناميات. قوانين الديناميات 180
73. المفاهيم الأساسية والتعاريف 180
§ 74. قوانين الديناميات. مشاكل ديناميكيات النقطة المادية 181
75. أنظمة الوحدات 183
§76. الأنواع الأساسية للقوى 184
الفصل السادس عشر. المعادلات التفاضليةحركة نقطة. حل مشاكل ديناميات النقطة 186
77. المعادلات التفاضلية ، حركات النقطة المادية رقم 6
§ 78. حل مشكلة الديناميات الأولى (تحديد القوى من حركة معينة) 187
§ 79. حل المشكلة الرئيسية للديناميات في الحركة المستقيمة لنقطة 189
§ 80. أمثلة على حل المشكلات 191
§81 *. سقوط جسم في وسط مقاوم (في الهواء) 196
§82. حل المشكلة الرئيسية للديناميكيات ، بحركة منحنية لنقطة 197
الفصل السابع عشر. النظريات العامة لديناميات النقطة 201
§83. مقدار حركة النقطة. فورس إمبلس 201
§ 4 س. نظرية التغير في زخم النقطة 202
§ 85. نظرية التغيير في الزخم الزاوي لنقطة (نظرية اللحظات) "204
§86 *. الحركة تحت تأثير قوة مركزية. قانون المناطق 266
§ 8-7. قوة العمل. القوة 208
§88. أمثلة على حساب العمل 210
§89. نظرية التغيير في الطاقة الحركية لنقطة ما. ".. 213J
الفصل الثامن عشر. حركة غير حرة ونسبية لنقطة 219
§90. حركة غير حرة للنقطة. 219
§91. الحركة النسبية للنقطة 223
92. تأثير دوران الأرض على توازن وحركة الأجسام ... 227
القسم 93 *. انحراف نقطة السقوط عن العمودي بسبب دوران الأرض "230
الفصل التاسع عشر. التقلبات المستقيمة لنقطة. . . 232
94. الاهتزازات الحرة دون مراعاة لقوى المقاومة 232
95. التذبذبات الحرة ذات المقاومة اللزجة (التذبذبات المخمدة) 238
§96. الاهتزازات القسرية. الرنين 241
الفصل العشرون *. حركة جسم في مجال الجاذبية 250
97. حركة جسم ملقاة في مجال الجاذبية الأرضية "250
§98. الأقمار الصناعية للأرض. المسارات البيضاوية. 254
99. مفهوم انعدام الوزن "النظم المرجعية المحلية 257
القسم الرابع: ديناميكيات نظام وجسم صلب
G i a v a XXI. مقدمة في ديناميكيات النظام. لحظات من الجمود. 263
§ 100. النظام الميكانيكي. القوى الخارجية والداخلية 263
§ 101. كتلة النظام. مركز الثقل 264
§ 102. لحظة القصور الذاتي للجسم حول المحور. نصف قطر القصور الذاتي. . 265
103 دولارات. لحظات من القصور الذاتي لجسم حول محاور متوازية. نظرية هويجن 268
§ 104 *. لحظات الطرد المركزي من القصور الذاتي. مفاهيم حول المحاور الرئيسية لقصور الجسم 269
105 دولارات أمريكية *. لحظة من القصور الذاتي للجسم حول محور اعتباطي. 271
الفصل الثاني والعشرون. نظرية حركة مركز كتلة النظام 273
106 دولار. المعادلات التفاضلية لحركة النظام 273
§ 107. نظرية حركة مركز الكتلة 274
108 دولار. قانون حفظ الحركة لمركز الكتلة 276
109. حل المشكلات 277
الفصل الثالث والعشرون. نظرية التغيير في كمية النظام المتحرك. . 280
$ لكن. عدد أنظمة الحركة 280
§111. نظرية تغير الزخم 281
112ـ قانون حفظ الزخم 282
113 دولارًا *. تطبيق النظرية على حركة سائل (غاز) 284
§ 114 *. جسم ذو كتلة متغيرة. حركة الصاروخ 287
جداوة الرابع والعشرون. نظرية التغيير في لحظة زخم النظام 290
115. اللحظة الرئيسية لكميات حركة النظام 290
116. نظرية التغيير في اللحظة الرئيسية لزخم النظام (نظرية اللحظات) 292
117 دولارًا. قانون الحفاظ على اللحظة الرئيسية للزخم. . 294
118 دولار. حل مشكلة 295
119 دولارًا *. تطبيق نظرية اللحظة على حركة سائل (غاز) 298
§ 120. شروط التوازن لنظام ميكانيكي 300
الفصل الخامس والعشرون. نظرية التغيير في الطاقة الحركية للنظام. . 301.
§ 121 الطاقة الحركية للنظام 301
122 دولارًا. بعض حالات حساب العمل 305
123 دولار. نظرية التغيير في الطاقة الحركية للنظام 307
124. دولار لحل المشكلة 310
125 دولارًا *. مهام مختلطة "314
126. مجال القوة المحتملة ودالة القوة 317
127 دولارًا للطاقة الكامنة. قانون حفظ الطاقة الميكانيكية 320
الفصل السادس والعشرون. "تطبيق النظريات العامة على ديناميات الجسم الصلب 323
12 دولارًا و. الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت ". 323"
129 دولار البندول المادي. تحديد تجريبي لحظات القصور الذاتي. 326
130 دولارًا. الحركة الموازية للمستوى لجسم صلب 328
131 دولارًا *. النظرية الأولية للجيروسكوب 334
132 دولارًا *. حركة جسم صلب حول نقطة ثابتة وحركة جسم جامد حر 340
الفصل السابع والعشرون. 344- مسعود
133. دولار أمريكي لمبدأ دالمبرت للنقطة والنظام الميكانيكي. . 344
134- المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية لقوى القصور الذاتي 346
135 دولار. حل مشكلة 348
136 دولارًا * ، ردود الفعل Didemic التي تعمل على محور الجسم الدوار. 352ـ موازنة الأجسام الدوارة
الفصل الثامن والعشرون. مبدأ النزوح المحتمل والمعادلة العامة للديناميكيات 357
137. تصنيف التوصيلات 357
§ 138. الإزاحة المحتملة للنظام. عدد درجات الحرية. . 358
139. مبدأ الحركات الممكنة 360
140. حل المشاكل 362
141. المعادلة العامة للديناميات 367
الفصل التاسع والعشرون. شروط التوازن ومعادلات الحركة للنظام في الإحداثيات المعممة 369
§ 142. الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة. . . 369
143. القوات المعممة 371
§ 144 شروط التوازن لنظام في الإحداثيات المعممة 375
§ 145. معادلات لاغرانج 376
146. حل المشاكل 379
الفصل الثلاثون *. الاهتزازات الصغيرة للنظام حول موضع التوازن المستقر 387
147. مفهوم استقرار التوازن 387
148. الاهتزازات الصغيرة الحرة لنظام بدرجة واحدة من الحرية 389
149. التذبذبات الصغيرة المثبطة والقسرية لنظام بدرجة واحدة من الحرية 392
150. تذبذبات موجزة صغيرة لنظام بدرجتين من الحرية 394
الفصل الحادي والثلاثون. نظرية التأثير الابتدائي 396
151. المعادلة الأساسية لنظرية التأثير 396
152. النظريات العامة لنظرية التأثير 397
§ 153- عامل استعادة الأثر 399
§ 154 تأثير الجسم على حاجز ثابت 400
155. التأثير المركزي المباشر لجسمين (تأثير الكرات) 401
§ 156. فقدان الطاقة الحركية أثناء تأثير غير مرن لجسمين. 403- نظرية كارنو
§ 157 *. ضربة لجسم دوار. مركز التأثير 405
فهرس 409

الإحصائيات هي قسم من الميكانيكا النظرية يدرس شروط التوازن للأجسام المادية تحت تأثير القوى ، وكذلك طرق تحويل القوى إلى أنظمة مكافئة.

في ظل حالة التوازن ، في الإحصائيات ، تُفهم الحالة التي تكون فيها جميع أجزاء النظام الميكانيكي في حالة راحة بالنسبة إلى بعض أنظمة الإحداثيات بالقصور الذاتي. أحد العناصر الأساسية للإحصاءات هي القوى ونقاط تطبيقها.

القوة المؤثرة على نقطة مادية مع متجه نصف قطر من نقاط أخرى هي مقياس لتأثير النقاط الأخرى على النقطة قيد الدراسة ، ونتيجة لذلك تتلقى تسارعًا بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي. قيمة قوةيتم تحديده من خلال الصيغة:
,
حيث m كتلة النقطة - قيمة تعتمد على خصائص النقطة نفسها. هذه الصيغة تسمى قانون نيوتن الثاني.

تطبيق الإحصائيات في الديناميات

من السمات المهمة لمعادلات حركة الجسم الصلب تمامًا أنه يمكن تحويل القوى إلى أنظمة مكافئة. مع مثل هذا التحول ، تحتفظ معادلات الحركة بشكلها ، لكن نظام القوى المؤثرة على الجسم يمكن أن يتحول إلى نظام أبسط. وبالتالي ، يمكن تحريك نقطة تطبيق القوة على طول خط عملها ؛ يمكن توسيع القوات وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع ؛ يمكن استبدال القوى المطبقة في نقطة واحدة بمجموعها الهندسي.

مثال على هذه التحولات هو الجاذبية. يعمل على جميع نقاط الجسم الصلب. لكن قانون حركة الجسم لن يتغير إذا تم استبدال قوة الجاذبية الموزعة على جميع النقاط بمتجه واحد مطبق في مركز كتلة الجسم.

اتضح أنه إذا أضفنا نظامًا مكافئًا إلى النظام الرئيسي للقوى المؤثرة على الجسم ، حيث تنعكس اتجاهات القوى ، فإن الجسم ، تحت تأثير هذه الأنظمة ، سيكون في حالة توازن. وبالتالي ، فإن مهمة تحديد أنظمة القوى المكافئة يتم تقليلها إلى مشكلة التوازن ، أي إلى مشكلة الإحصائيات.

المهمة الرئيسية للاحصاءاتهو وضع قوانين لتحويل نظام القوى إلى أنظمة مكافئة. وبالتالي ، فإن طرق الإحصائيات لا تستخدم فقط في دراسة الأجسام في حالة توازن ، ولكن أيضًا في ديناميات الجسم الصلب ، في تحويل القوى إلى أنظمة مكافئة أبسط.

احصائيات نقطة المواد

ضع في اعتبارك نقطة مادية في حالة توازن. ودع ن قوى تعمل على ذلك ، ك = 1 ، 2 ، ... ، ن.

اذا كان نقطة ماديةفي حالة توازن ، فإن مجموع المتجهات للقوى المؤثرة عليها يساوي صفرًا:
(1) .

في حالة التوازن ، يكون المجموع الهندسي للقوى المؤثرة على نقطة ما هو صفر.

تفسير هندسي. إذا تم وضع بداية المتجه الثاني في نهاية المتجه الأول ، وتم وضع بداية المتجه الثالث في نهاية المتجه الثاني ، ثم استمرت هذه العملية ، فستكون نهاية المتجه الأخير nth يتم دمجها مع بداية المتجه الأول. أي ، نحصل على شكل هندسي مغلق ، أطوال أضلاعه تساوي وحدات المتجهات. إذا كانت جميع المتجهات تقع في نفس المستوى ، فسنحصل على مضلع مغلق.

غالبًا ما يكون الاختيار مناسبًا نظام إحداثيات مستطيل Oxyz. ثم تكون مجاميع إسقاطات جميع متجهات القوة على محاور الإحداثيات مساوية للصفر:

إذا اخترت أي اتجاه محدد بواسطة متجه ، فإن مجموع إسقاطات متجهات القوة في هذا الاتجاه يساوي صفرًا:
.
نقوم بضرب المعادلة (1) بشكل تدريجي بواسطة المتجه:
.
هنا هو المنتج القياسي للناقلات و.
لاحظ أن إسقاط المتجه على اتجاه المتجه يتم تحديده بواسطة الصيغة:
.

احصائيات الجسم الصلبة

لحظة القوة حول نقطة

تحديد لحظة القوة

لحظة القوة، المطبق على الجسم عند النقطة A ، بالنسبة إلى المركز الثابت O ، يسمى متجهًا يساوي منتج المتجهات للمتجهات و:
(2) .

تفسير هندسي

لحظة القوة تساوي حاصل ضرب القوة F والذراع OH.

دع المتجهات وتكون موجودة في مستوى الشكل. وفقًا لخاصية حاصل الضرب الاتجاهي ، يكون المتجه عموديًا على المتجهات ، أي عموديًا على مستوى الشكل. يتم تحديد اتجاهها من خلال قاعدة المسمار الصحيحة. في الشكل ، يتم توجيه متجه اللحظة نحونا. القيمة المطلقة للحظة:
.
منذ ذلك الحين
(3) .

باستخدام الهندسة ، يمكن للمرء أن يعطي تفسيرًا آخر للحظة القوة. للقيام بذلك ، ارسم خطًا مستقيمًا AH من خلال متجه القوة. من المركز O نسقط OH العمودي على هذا الخط. طول هذا العمودي يسمى كتف القوة. ثم
(4) .
بما أن الصيغتين (3) و (4) متكافئتان.

في هذا الطريق، القيمة المطلقة للحظة القوةبالنسبة للمركز O هو نتاج القوة على الكتفهذه القوة بالنسبة للمركز المختار O.

عند حساب العزم ، غالبًا ما يكون من المناسب تفكيك القوة إلى مكونين:
,
أين . تمر القوة بالنقطة O. لذلك ، زخمها هو صفر. ثم
.
القيمة المطلقة للحظة:
.

مكونات اللحظة في إحداثيات مستطيلة

إذا اخترنا نظام إحداثيات مستطيل Oxyz متمركزًا عند النقطة O ، فإن لحظة القوة ستحتوي على المكونات التالية:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
فيما يلي إحداثيات النقطة A في نظام الإحداثيات المحدد:
.
المكونات هي قيم لحظة القوة حول المحاور ، على التوالي.

خصائص لحظة القوة حول المركز

اللحظة حول المركز O ، من القوة التي تمر عبر هذا المركز ، تساوي صفرًا.

إذا تم تحريك نقطة تطبيق القوة على طول خط يمر عبر متجه القوة ، فلن تتغير اللحظة أثناء هذه الحركة.

اللحظة من مجموع متجه للقوى المطبقة على نقطة واحدة من الجسم تساوي مجموع المتجه للحظات من كل من القوى المطبقة على نفس النقطة:
.

الأمر نفسه ينطبق على القوى التي تتقاطع خطوط امتدادها عند نقطة واحدة.

إذا كان مجموع متجه للقوى هو صفر:
,
إذن مجموع اللحظات من هذه القوى لا يعتمد على موضع المركز ، بالنسبة إلى اللحظات المحسوبة:
.

زوجان قويان

زوجان قويان- هاتان قوتان متساويتان في القيمة المطلقة ولها اتجاهات متعاكسة ، تطبق على نقاط مختلفة من الجسم.

زوج من القوى يتميز باللحظة التي يخلقانها. نظرًا لأن مجموع متجه للقوى المتضمنة في الزوج هو صفر ، فإن اللحظة التي تم إنشاؤها بواسطة الزوجين لا تعتمد على النقطة المتعلقة بحساب اللحظة. من وجهة نظر التوازن الثابت ، فإن طبيعة القوى في الزوج غير ذات صلة. يتم استخدام زوج من القوى للإشارة إلى أن لحظة من القوى تؤثر على الجسم ، ولها قيمة معينة.

لحظة القوة حول محور معين

غالبًا ما تكون هناك حالات لا نحتاج فيها إلى معرفة جميع مكونات لحظة القوة حول نقطة محددة ، لكننا نحتاج فقط إلى معرفة لحظة القوة حول المحور المحدد.

لحظة القوة حول المحور المار بالنقطة O هي إسقاط متجه لحظة القوة ، حول النقطة O ، على اتجاه المحور.

خصائص لحظة القوة حول المحور

اللحظة حول المحور من القوة التي تمر عبر هذا المحور تساوي صفرًا.

اللحظة حول محور من قوة موازية لهذا المحور هي صفر.

حساب لحظة القوة حول المحور

دع قوة تؤثر على الجسم عند النقطة أ. دعونا نجد لحظة هذه القوة بالنسبة لمحور O′O ′ ′.

دعونا نبني نظام إحداثيات مستطيل. دع محور Oz يتطابق مع O′O ′ ′. من النقطة A نقوم بإسقاط OH العمودي إلى O′O ′ ′. من خلال النقطتين O و A نرسم المحور Ox. نرسم المحور Oy عموديًا على Ox و Oz. نقوم بتحليل القوة إلى مكونات على طول محاور نظام الإحداثيات:
.
تعبر القوة محور O′O ′ ′. لذلك ، زخمها هو صفر. القوة موازية لمحور O′O ′ ′. لذلك ، فإن اللحظة هي أيضًا صفر. بالصيغة (5.3) نجد:
.

لاحظ أن المكون موجه بشكل عرضي إلى الدائرة التي يكون مركزها النقطة O. يتم تحديد اتجاه المتجه من خلال قاعدة المسمار الصحيحة.

شروط التوازن لجسم صلب

في حالة التوازن ، يكون مجموع المتجه لجميع القوى المؤثرة على الجسم يساوي صفرًا ومجموع المتجه لحظات هذه القوى بالنسبة إلى مركز ثابت تعسفي يساوي صفرًا:
(6.1) ;
(6.2) .

نؤكد أن المركز O ، بالنسبة إلى حساب لحظات القوى ، يمكن اختياره بشكل تعسفي. يمكن أن تنتمي النقطة O إلى الجسم أو أن تكون خارجه. عادةً ما يتم اختيار المركز O لتسهيل العمليات الحسابية.

يمكن صياغة شروط التوازن بطريقة أخرى.

في حالة التوازن ، يكون مجموع إسقاطات القوى على أي اتجاه يعطى بواسطة ناقل تعسفي يساوي صفرًا:
.
مجموع لحظات القوى حول المحور التعسفي O′O ′ ′ يساوي أيضًا صفرًا:
.

في بعض الأحيان تكون هذه الشروط أكثر ملاءمة. هناك أوقات يمكن فيها جعل الحسابات أبسط من خلال اختيار المحاور.

مركز ثقل الجسم

اعتبر واحدة من أهم القوى - الجاذبية. هنا ، لا يتم تطبيق القوى في نقاط معينة من الجسم ، ولكن يتم توزيعها باستمرار على حجمها. لكل جزء من أجزاء الجسم بحجم متناهي الصغر ∆V، تعمل قوة الجاذبية. هنا ρ هي كثافة مادة الجسم ، هي تسارع السقوط الحر.

اسمحوا أن تكون كتلة جزء صغير لانهائي من الجسم. ودع النقطة A k تحدد موضع هذا القسم. لنجد الكميات المتعلقة بقوة الجاذبية المضمنة في معادلات التوازن (6).

لنجد مجموع قوى الجاذبية التي تشكلها جميع أجزاء الجسم:
,
اين كتلة الجسم. وبالتالي ، يمكن استبدال مجموع قوى الجاذبية لأجزاء فردية متناهية الصغر من الجسم بمتجه جاذبية واحد للجسم بأكمله:
.

لنجد مجموع لحظات قوى الجاذبية ، بالنسبة للمركز المختار O بطريقة عشوائية:

.
هنا قدمنا النقطة C التي تسمى مركز الجاذبيةهيئة. يتم تحديد موضع مركز الثقل ، في نظام إحداثيات متمركز عند النقطة O ، بواسطة الصيغة:
(7) .

لذلك ، عند تحديد التوازن الثابت ، يمكن استبدال مجموع قوى الجاذبية لأقسام فردية من الجسم بالنتيجة
,
يتم تطبيقه على مركز كتلة الجسم C ، ويتم تحديد موضعه بواسطة الصيغة (7).

موقع مركز الثقل لمختلف الأشكال الهندسيةيمكن العثور عليها في الأدلة ذات الصلة. إذا كان للجسم محور أو مستوى تناظر ، فإن مركز الجاذبية يقع على هذا المحور أو المستوى. لذا ، فإن مراكز الجاذبية للكرة أو الدائرة أو الدائرة تقع في مراكز دوائر هذه الأشكال. توجد أيضًا مراكز الثقل في موازٍ مستطيلة الشكل أو مستطيل أو مربع في مراكزها - عند نقاط تقاطع الأقطار.

بشكل موحد (أ) وخطي (ب) حمولة موزعة.

هناك أيضًا حالات مشابهة لقوة الجاذبية ، عندما لا يتم تطبيق القوى في نقاط معينة من الجسم ، ولكن يتم توزيعها باستمرار على سطحه أو حجمه. تسمى هذه القوى القوات الموزعةأو .

(الشكل أ). أيضًا ، كما في حالة الجاذبية ، يمكن استبدالها بقوة المقدار الناتجة ، المطبقة في مركز ثقل الرسم التخطيطي. نظرًا لأن الرسم البياني في الشكل أ عبارة عن مستطيل ، فإن مركز ثقل المخطط يقع في مركزه - النقطة ج: | AC | = | سي بي |.

(الصورة ب). يمكن أيضًا استبداله بالناتج. قيمة الناتج تساوي مساحة الرسم التخطيطي:
.
نقطة التطبيق في مركز ثقل الرسم التخطيطي. يقع مركز ثقل المثلث ، ارتفاع h ، على مسافة من القاعدة. لهذا .

قوى الاحتكاك

انزلاق الاحتكاك. دع الجسم يكون على سطح مستو. وليكن قوة عمودية على السطح يعمل بها السطح على الجسم (قوة الضغط). ثم تكون قوة الاحتكاك المنزلقة موازية للسطح وموجهة إلى الجانب ، مما يمنع الجسم من الحركة. أكبر قيمة لها هي:
,
حيث f هو معامل الاحتكاك. معامل الاحتكاك هو كمية بلا أبعاد.

الاحتكاك المتداول. دع الجسم المستدير يتدحرج أو قد يتدحرج على السطح. وليكن قوة الضغط عمودية على السطح الذي يعمل به السطح على الجسم. ثم على الجسم ، عند نقطة التلامس مع السطح ، تعمل لحظة الاحتكاك ، مما يمنع حركة الجسم. أكبر قيمة للحظة الاحتكاك هي:
,
أين δ هو معامل الاحتكاك المتداول. لها أبعاد الطول.

مراجع:
S. M. Targ ، دورة قصيرة في الميكانيكا النظرية ، المدرسة العليا ، 2010.

النظريات العامة لديناميات نظام الهيئات. النظريات المتعلقة بحركة مركز الكتلة ، والتغير في الزخم ، والتغير في اللحظة الرئيسية للزخم ، والتغير في الطاقة الحركية. مبادئ دالمبرت وحالات النزوح المحتملة. المعادلة العامة للديناميات. معادلات لاغرانج.

محتوى

العمل الذي تقوم به القوة، يساوي الناتج القياسي لمتجهات القوة والإزاحة المتناهية الصغر لنقطة تطبيقه:
,
أي ناتج الوحدات النمطية للمتجهين F و ds وجيب تمام الزاوية بينهما.

الشغل الذي تقوم به لحظة القوة، يساوي الناتج القياسي لمتجهات اللحظة وزاوية الدوران المتناهية الصغر:
.

مبدأ دالمبرت

يتمثل جوهر مبدأ دالمبرت في تقليل مشاكل الديناميكيات إلى مشاكل الإحصائيات. للقيام بذلك ، من المفترض (أو من المعروف مسبقًا) أن أجسام النظام لها تسارعات (زاوية) معينة. بعد ذلك ، يتم إدخال قوى القصور الذاتي و (أو) لحظات القصور الذاتي ، والتي تكون متساوية في الحجم ومتبادلة في الاتجاه للقوى ولحظات القوى ، والتي ، وفقًا لقوانين الميكانيكا ، من شأنها أن تخلق تسارعًا معينًا أو تسارعًا زاويًا

تأمل في مثال. يقوم الجسم بحركة انتقالية وتعمل القوى الخارجية عليها. علاوة على ذلك ، نفترض أن هذه القوى تخلق تسارعًا لمركز كتلة النظام. وفقًا لنظرية حركة مركز الكتلة ، سيكون لمركز كتلة الجسم نفس التسارع إذا أثرت القوة على الجسم. بعد ذلك ، نقدم قوة القصور الذاتي:
.
بعد ذلك ، مهمة الديناميات هي:
.
;
.

للحركة الدورانية المضي قدما بطريقة مماثلة. دع الجسم يدور حول المحور z وتؤثر عليه لحظات القوى الخارجية. نفترض أن هذه اللحظات تخلق عجلة زاويّة ε z. بعد ذلك ، نقدم لحظة قوى القصور الذاتي M И = - J z ε z. بعد ذلك ، مهمة الديناميات هي:
.
يتحول إلى مهمة ثابتة:
;
.

مبدأ الحركات الممكنة

يتم استخدام مبدأ النزوح المحتمل لحل مشاكل الإحصائيات. في بعض المسائل ، تعطي حلاً أقصر من كتابة معادلات التوازن. هذا ينطبق بشكل خاص على الأنظمة ذات الوصلات (على سبيل المثال ، أنظمة الأجسام المتصلة بواسطة خيوط وكتل) ، والتي تتكون من العديد من الهيئات

مبدأ الحركات الممكنة.
من أجل توازن نظام ميكانيكي مع قيود مثالية ، من الضروري والكافي أن يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة عليه لأي إزاحة محتملة للنظام مساويًا للصفر.

إمكانية نقل النظام- هذا إزاحة صغيرة ، حيث لا تنقطع الوصلات المفروضة على النظام.

اتصالات مثالية- هذه روابط لا تعمل عند نقل النظام. بتعبير أدق ، مجموع العمل الذي تقوم به الروابط نفسها عند نقل النظام هو صفر.

المعادلة العامة للديناميات (مبدأ دالمبرت - لاغرانج)

مبدأ دالمبرت-لاغرانج هو مزيج من مبدأ دالمبرت ومبدأ النزوح المحتمل. أي عند حل مشكلة الديناميكيات ، نقدم قوى القصور الذاتي ونختزل المشكلة في مشكلة الإحصائيات ، والتي نحلها باستخدام مبدأ الإزاحة المحتملة.

مبدأ دالمبرت لاغرانج.
عندما يتحرك نظام ميكانيكي مع قيود مثالية في كل لحظة من الزمن ، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة وجميع قوى القصور الذاتي على أي إزاحة محتملة للنظام يساوي صفرًا:
.
هذه المعادلة تسمى المعادلة العامة للديناميات.

معادلات لاغرانج

إحداثيات معممة q 1 ، ف 2 ، ... ، ف ن هي مجموعة من القيم n التي تحدد بشكل فريد موضع النظام.

يتطابق عدد الإحداثيات المعممة n مع عدد درجات حرية النظام.

سرعات معممةهي مشتقات الإحداثيات المعممة فيما يتعلق بالوقت ر.

القوى المعممة س 1 ، س 2 ، ... ، س ن .
ضع في اعتبارك إزاحة محتملة للنظام ، حيث سيتلقى الإحداثي q k إزاحة δq k. تبقى بقية الإحداثيات دون تغيير. لنفترض أن A k هو العمل الذي تقوم به القوى الخارجية أثناء هذا النزوح. ثم
δA k = Q k δq k أو
.

إذا تغيرت جميع الإحداثيات ، مع إزاحة محتملة للنظام ، فإن العمل الذي تقوم به القوى الخارجية أثناء هذا الإزاحة له الشكل:
δ أ = س 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
ثم القوى المعممة هي مشتقات جزئية لعمل الإزاحة:
.

للقوى المحتملةمع إمكانية Π ،
.

معادلات لاغرانجهي معادلات حركة نظام ميكانيكي في إحداثيات معممة:

هنا T هي الطاقة الحركية. إنها دالة للإحداثيات والسرعات المعممة وربما الوقت. لذلك ، فإن مشتقها الجزئي هو أيضًا دالة للإحداثيات المعممة والسرعات والوقت. بعد ذلك ، عليك أن تأخذ في الاعتبار أن الإحداثيات والسرعات هي وظائف زمنية. لذلك ، لإيجاد مشتق الوقت الإجمالي ، عليك تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة:
.

مراجع:
S. M. Targ ، دورة قصيرة في الميكانيكا النظرية ، المدرسة العليا ، 2010.